Probabilità condizionata: aggiornare lo spazio dei casi

Regola

Se P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B). In un'urna senza reinserimento cambiano composizione e denominatore dopo la prima estrazione.

Approfondimento e limiti del modello

La barra verticale in P(A|B) significa che B è già noto. In uno spazio finito equiprobabile, puoi contare i casi di A∩B e dividerli per i casi di B; la formula con P funziona anche quando gli esiti elementari non hanno tutti lo stesso peso. Senza P(B)>0 non esiste un insieme condizionante con probabilità positiva.

La procedura di estrazione determina il modello. Con reinserimento la composizione dell'urna torna identica e le due estrazioni sono indipendenti; senza reinserimento il primo risultato cambia i casi disponibili. Scrivere l'ordine degli eventi e la condizione evita di confondere P(seconda rossa | prima rossa) con P(prima rossa | seconda rossa).

Il nuovo universo dopo una condizione

La scrittura P(A|B) si legge «probabilità di A sapendo B». La condizione B non aggiunge semplicemente un dettaglio alla risposta: sostituisce l'universo di riferimento con gli esiti compatibili con B. Se tutti gli esiti elementari sono equiprobabili, il denominatore diventa il numero degli esiti in B e il numeratore il numero di quelli in A∩B. Il rapporto P(A∩B)/P(B) esprime la stessa idea quando gli esiti hanno pesi diversi.

La condizione deve avere probabilità positiva. Se P(B)=0, la divisione della formula non è definita e non si può assegnare un valore con questo modello elementare. È utile scrivere l'evento B per esteso prima dei calcoli: «la prima estrazione è rossa» non coincide con «almeno una delle due estrazioni è rossa». Cambiare B cambia il denominatore e spesso anche l'insieme favorevole.

Leggere un albero senza perdere l'ordine

Con 3 dischi rossi e 2 blu, senza reinserimento, il ramo prima rosso poi blu pesa (3/5)·(2/4)=3/10. Il primo fattore riguarda cinque dischi; il secondo è condizionato al primo risultato e riguarda quattro dischi rimasti. Il ramo prima blu poi rosso pesa (2/5)·(3/4)=3/10. I due rami sono diversi anche se hanno lo stesso peso numerico in questa urna.

Se A significa «la seconda è blu» e B «la prima è rossa», allora P(A|B)=2/4=1/2: il primo fattore 3/5 non compare nel risultato condizionato perché B è già noto. Per ottenere invece P(A∩B), moltiplica P(B) per P(A|B) e ritrovi 3/10. Distinguere probabilità congiunta e condizionata è il controllo più utile sull'albero.

Reinserimento e indipendenza

Se il primo disco viene reinserito e l'urna viene rimescolata nello stesso modo, la composizione al secondo prelievo resta 3R+2B. Il secondo risultato ha allora probabilità 3/5 di rosso anche sapendo che il primo è rosso: P(seconda rossa | prima rossa)=3/5. Senza reinserimento la stessa probabilità è 2/4=1/2. Il testo deve dichiarare il procedimento; la figura non può sostituirlo.

Due eventi A e B sono indipendenti nel modello se P(A|B)=P(A), quando P(B)>0. Non basta che accadano in istanti diversi. Senza reinserimento, conoscere il primo colore cambia la probabilità del secondo; con reinserimento e scelta uniforme, i colori dei due prelievi sono indipendenti. L'indipendenza riguarda gli eventi definiti e il procedimento, non è una proprietà automatica delle parole «primo» e «secondo».

Condizionare nell'altro verso

P(seconda rossa | prima rossa) e P(prima rossa | seconda rossa) pongono condizioni opposte. In due estrazioni senza reinserimento dalla stessa urna 3R+2B, i due valori risultano entrambi 1/2 per la simmetria di questo particolare esperimento. L'uguaglianza numerica non è una regola generale: può scomparire se i due passaggi usano urne diverse o se il procedimento assegna pesi differenti.

Per calcolare la condizione inversa occorre tornare alla definizione: P(B|A)=P(A∩B)/P(A). Il numeratore P(A∩B) è lo stesso se scambi i nomi degli eventi, ma il denominatore cambia da P(B) a P(A). Una risposta identica in un caso speciale non giustifica lo scambio dei simboli in una formula o l'inversione automatica di un ragionamento.

Tabella di casi e controllo incrociato

Una tabella può raggruppare i venti percorsi ordinati dei cinque dischi fisici senza reinserimento: cinque scelte per il primo disco e quattro per il secondo. I percorsi con prima rossa sono 3·4=12; fra questi, quelli con seconda blu sono 3·2=6. Condizionando sui dodici percorsi compatibili con la prima rossa, P(seconda blu | prima rossa)=6/12=1/2. L'albero dà 2/4 e conferma lo stesso valore.

La tabella e l'albero usano unità di conteggio diverse solo se vengono costruiti male. Se distingui i dischi fisici nella tabella, distinguili in numeratore e denominatore. Se usi soltanto categorie di colore, devi pesare i rami perché i colori non sono equiprobabili. Due metodi coerenti che non concordano segnalano un errore nell'evento, nella condizione o nel reinserimento.

Controlli di plausibilità e limiti

Ogni probabilità condizionata calcolata deve stare tra zero e uno. Se A è impossibile una volta noto B, l'intersezione è vuota e P(A|B)=0; se B implica A, allora P(A|B)=1. Nell'urna 3R+2B senza reinserimento, dopo la prima rossa non può essere vero che la probabilità del secondo blu sia 3/4: rimangono soltanto due blu su quattro dischi.

Un valore come 1/2 è una proprietà del modello, non la promessa che in due prove una produrrà l'evento. Per usarlo in un esperimento reale occorre garantire estrazione uniforme, composizione nota e procedura dichiarata. Prima di chiudere, riscrivi in parole A e B, verifica se l'ordine conta, controlla il numero di oggetti dopo ogni prelievo e confronta il risultato con un secondo metodo quando disponibile.