Rapporti trigonometrici e modelli periodici

Regola

Per angolo acuto α, sin α=cateto opposto/ipotenusa e cos α=cateto adiacente/ipotenusa. Vale sin²α+cos²α=1. Per modellare un moto periodico occorre poi definire periodo e ampiezza: un triangolo statico da solo non rappresenta il tempo.

Approfondimento e limiti del modello

Il lato opposto e quello adiacente cambiano nome quando cambia l'angolo di riferimento, mentre l'ipotenusa resta il lato di fronte all'angolo retto. In un triangolo 3–4–5, rispetto all'angolo opposto a 4 il seno è 4/5 e il coseno è 3/5: i valori si scambiano rispetto all'altro angolo acuto.

La circonferenza unitaria estende seno e coseno oltre gli angoli acuti. Un punto che ruota di un giro completo torna alle stesse coordinate, da cui la periodicità di 2π radianti. In un modello y=A sin(ωt), |A| indica l'ampiezza e il periodo è 2π/|ω| se ω≠0; la figura di un triangolo non fornisce da sola questi parametri.

Rapporti nel triangolo rettangolo

Fissato un angolo acuto α di un triangolo rettangolo, sin α è il rapporto fra il cateto opposto e l'ipotenusa, mentre cos α è il rapporto fra il cateto adiacente e l'ipotenusa. Opposto e adiacente cambiano quando si sceglie l'altro angolo acuto; l'ipotenusa resta il lato di fronte all'angolo retto. Triangoli rettangoli simili hanno lati proporzionali, perciò questi rapporti dipendono dall'angolo e non dalla grandezza del disegno. Il numeratore non può superare l'ipotenusa per un angolo acuto, quindi entrambi i rapporti sono fra zero e uno in questo contesto. Un rapporto senza indicazione dell'angolo non è completamente definito. La misura nel raster non sostituisce i lati dichiarati, soprattutto quando il disegno è schematico.

Dal triangolo alla circonferenza unitaria

Sulla circonferenza di raggio uno centrata nell'origine, al punto raggiunto ruotando di un angolo θ corrispondono coordinate (cos θ,sin θ). Questa definizione estende seno e coseno oltre gli angoli acuti: le coordinate possono essere negative secondo il quadrante. Poiché il punto resta sulla circonferenza x²+y²=1, segue sin²θ+cos²θ=1 per ogni angolo reale. La relazione serve a controllare una coppia di valori: se sin θ=3/5 e cos θ è positivo, allora cos θ=4/5; senza conoscere il quadrante, il segno della radice non è determinato. Un giro completo misura 2π radianti e riporta allo stesso punto, quindi seno e coseno si ripetono dopo 2π. Specificare radianti o gradi evita errori quando si passa dal disegno alla funzione.

Ampiezza, periodo e traslazione di un modello

Per y(t)=A sin(ωt+φ)+c con A e ω diversi da zero, l'ampiezza è |A|, la linea centrale è y=c e il periodo è T=2π/|ω| se l'argomento del seno è misurato in radianti. La fase φ sposta il punto del ciclo da cui si parte, ma non modifica ampiezza o periodo. Il segno di A riflette l'oscillazione rispetto alla linea centrale; l'intervallo dei valori è [c−|A|,c+|A|]. Se t misura secondi, ω deve avere unità radianti al secondo affinché ωt sia un angolo; T allora è in secondi. Un triangolo statico fornisce rapporti, non il periodo di un fenomeno: servono una variabile temporale e una legge che la colleghi all'angolo.

Verificare il modello e non leggere dati inventati

Il modello sinusoidale è adatto a un andamento che si ripete con forma e ampiezza abbastanza stabili nell'intervallo osservato. Prima di usarlo, identifica dal testo il periodo, la linea centrale e le unità; una curva disegnata senza scala non li determina con precisione. Valori a distanza T devono coincidere nel modello, per esempio y(t+T)=y(t). A distanza T/2, il seno cambia segno rispetto alla linea centrale quando la fase è la stessa: ciò può offrire un secondo controllo. Se ω=0, la funzione è costante e la formula 2π/|ω| non si applica; se A=0, non vi è oscillazione osservabile. La ripetizione matematica può cessare nella realtà per attrito, cambi di regime o disturbi: l'estensione indefinita della formula richiede un'ipotesi esplicita.