Classe quarta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Confrontare prodotto scalare e prova di appartenenza di un punto.
Prima di iniziare
- Vettori
- Equazioni lineari
L'idea centrale
Una retta nello spazio si può descrivere con P(t)=P₀+tv, dove P₀ è un punto e v è un vettore direzione non nullo. Un piano di equazione ax+by+cz=d ha normale n=(a,b,c), anch'essa non nulla. Sostituendo le coordinate della retta nell'equazione del piano si ottiene n·P₀+t(n·v)=d. Se n·v≠0, esiste un unico parametro e la retta è incidente al piano. Se n·v=0, la direzione è parallela al piano: allora P₀ nel piano implica retta contenuta; P₀ fuori implica retta parallela distinta, senza punti comuni. La figura distingue queste tre possibilità. Dire soltanto che n·v=0 non basta a decidere fra contenuta e disgiunta. Un piano non è descritto dal solo disegno prospettico: occorre sempre un'equazione o dati sufficienti a ricavarla. Nel calcolo del punto d'intersezione, dopo aver trovato t sostituiscilo in tutte e tre le coordinate e verifica che il punto soddisfi l'equazione del piano. Un vettore normale può essere moltiplicato per qualsiasi scalare non nullo senza cambiare il piano a cui è perpendicolare.
- Criterio
- Trova normale e direzione, calcola n·v, poi sostituisci un punto della retta nel piano. Quando n·v≠0 risolvi l'equazione in t e verifica il punto.
Come procedere
- Ricava la normale n dai coefficienti del piano e la direzione v della retta.
- Calcola n·v; se è zero controlla l'appartenenza di P₀ al piano, altrimenti risolvi per t.
- Sostituisci il parametro nel punto della retta e verifica l'equazione del piano.
Esempio svolto
La retta (1,0,2)+t(1,1,0) è contenuta nel piano z=2?
- La normale del piano è (0,0,1) e la direzione della retta è (1,1,0): il prodotto scalare è zero.
- Il punto iniziale ha z=2, quindi appartiene al piano; la coordinata z resta 2 per ogni t.
- Sostituendo (1+t,t,2) in z=2 ottengo 2=2 per ogni t: è la verifica diretta della retta contenuta.
Sì: tutti i punti della retta appartengono al piano.
Errore da evitare
Concludere che n·v=0 implica retta contenuta: la retta potrebbe stare in un piano parallelo distinto.
Controllo e limiti
- La prospettiva è qualitativa; le conclusioni sono algebriche.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
La retta (0,0,0)+t(1,0,1) interseca il piano z=3?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sì, per t=3 nel punto (3,0,3).
La terza coordinata della retta è t; pongo t=3.
Risposta: Sì, per t=3 nel punto (3,0,3).
La terza coordinata della retta è t; pongo t=3.
La retta (0,0,1)+t(1,1,0) è contenuta nel piano z=0?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No, è parallela e disgiunta.
La quota resta 1, diversa da zero per ogni t.
Risposta: No, è parallela e disgiunta.
La quota resta 1, diversa da zero per ogni t.
Trova una normale del piano 2x−y+3z=4.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (2,−1,3).
I coefficienti delle coordinate formano un vettore ortogonale al piano.
Risposta: (2,−1,3).
I coefficienti delle coordinate formano un vettore ortogonale al piano.
Trova l'intersezione della retta (1,2,0)+t(2,−1,1) con il piano x+y+z=6.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: t=3/2; punto (4,1/2,3/2).
La somma delle coordinate della retta è 3+2t; pongo 3+2t=6 e ottengo t=3/2, quindi il punto è (4,1/2,3/2).
Risposta: t=3/2; punto (4,1/2,3/2).
La somma delle coordinate della retta è 3+2t; pongo 3+2t=6 e ottengo t=3/2, quindi il punto è (4,1/2,3/2).
Stabilisci la posizione di (2,0,1)+t(1,−1,0) rispetto al piano x+y=4.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Parallela distinta, senza intersezione.
La somma x+y resta 2 per ogni t, diversa da 4; la direzione è parallela al piano.
Risposta: Parallela distinta, senza intersezione.
La somma x+y resta 2 per ogni t, diversa da 4; la direzione è parallela al piano.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
Continua lungo questo corridoio
Esercitarsi su questo: Rette e piani nello spazio: verificare incidenza e parallelismo