Classe quarta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Leggere traslazioni e riflessioni dalle coordinate dei punti.
Prima di iniziare
- Coordinate cartesiane
- Dominio di funzione
L'idea centrale
Trasformare il grafico di y=f(x) significa modificare in modo prevedibile le coordinate dei suoi punti. La formula y=f(x−h)+k manda (a,f(a)) in (a+h,f(a)+k): il segno interno è inverso allo spostamento orizzontale, quello esterno conserva il verso verticale. Moltiplicare per −1 fuori dalla funzione produce y=−f(x) e riflette il grafico nell'asse x; sostituire −x dentro produce y=f(−x) e lo riflette nell'asse y. Le quattro parabole in figura mostrano traslazione a destra, in alto e riflessione rispetto all'asse x a partire da x². Il dominio si trasforma insieme alle ascisse: per f(x−h) bisogna imporre x−h nel dominio originale. Un punto disegnato non basta a stabilire l'intero grafico; conviene seguire almeno vertice, intercette o estremi del dominio. Se ci sono più trasformazioni, esplicita l'ordine e controlla il risultato sostituendo un valore facile nella formula finale. Una traslazione verticale non modifica il dominio, mentre una orizzontale lo sposta. Queste regole valgono anche per funzioni non quadratiche, purché si rispettino i vincoli della formula iniziale.
- Criterio
- Parti da alcuni punti verificati del grafico originale, applica a ciascuno la trasformazione delle coordinate e poi controlla formula, dominio e intersezioni.
Come procedere
- Individua la funzione base e un punto o un riferimento geometrico facilmente riconoscibile.
- Applica prima il cambio nell'argomento all'ascissa, poi il cambio esterno all'ordinata.
- Trasforma anche il dominio e verifica un punto sostituendone l'ascissa nella nuova formula.
Esempio svolto
Da f(x)=x² passa a y=(x−3)²+1. Dove vanno il vertice e il punto (1,1)?
- La sostituzione x−3 sposta ogni ascissa di 3 verso destra.
- L'addendo +1 sposta ogni ordinata di 1 verso l'alto.
- Controllo il punto trasformato: per x=4 la nuova formula dà (4−3)²+1=2, come previsto.
Il vertice va in (3,1) e il punto (1,1) in (4,2).
Errore da evitare
Leggere f(x−3) come traslazione a sinistra o spostare il disegno senza trasformare il dominio.
Controllo e limiti
- Le curve mostrano solo la trasformazione qualitativa; gli assi non hanno scala numerica.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
Trasforma il vertice di y=x² in y=(x+2)²−5.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (−2,−5).
Il segno interno +2 sposta due a sinistra, il −5 cinque in basso.
Risposta: (−2,−5).
Il segno interno +2 sposta due a sinistra, il −5 cinque in basso.
Se f ha dominio [0,+∞), qual è il dominio di f(x−4)?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: [4,+∞).
L'argomento x−4 deve essere almeno zero.
Risposta: [4,+∞).
L'argomento x−4 deve essere almeno zero.
Il punto (2,3) di y=f(x) dove va nel grafico y=−f(x)?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (2,−3).
La riflessione sull'asse x cambia solo l'ordinata.
Risposta: (2,−3).
La riflessione sull'asse x cambia solo l'ordinata.
Da f(x)=√x costruisci g(x)=√(x+3)−2. Dove vanno l'origine e il dominio?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: L'origine va in (−3,−2); dominio [−3,+∞).
La traslazione è di 3 a sinistra e 2 in basso. Serve x+3≥0, quindi x≥−3.
Risposta: L'origine va in (−3,−2); dominio [−3,+∞).
La traslazione è di 3 a sinistra e 2 in basso. Serve x+3≥0, quindi x≥−3.
Il punto (−2,5) appartiene a y=f(x). Dove si trova in y=−f(−x)+1?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (2,−4).
La sostituzione −x cambia l'ascissa da −2 a 2; il segno esterno e +1 trasformano 5 in −5+1=−4.
Risposta: (2,−4).
La sostituzione −x cambia l'ascissa da −2 a 2; il segno esterno e +1 trasformano 5 in −5+1=−4.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Trasformare il grafico di una funzione