Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare e verificare i concetti di distribuzione binomiale: tre prove indipendenti negli esempi e nelle attività della lezione.
- Definire una variabile che conta successi.
- Calcolare una probabilità binomiale elementare.
- Riconoscere le ipotesi di indipendenza e probabilità costante.
Prima di iniziare
- Probabilità di eventi indipendenti
- Combinazioni elementari
Per capire
Lanciamo idealmente tre volte una moneta equa e indipendente; X conta le teste. Gli otto esiti ordinati hanno probabilità 1/8 ciascuno. Esattamente due teste compaiono in TTC, TCT e CTT: P(X=2)=3/8. La variabile può valere 0,1,2,3 e le probabilità rispettive sono 1/8,3/8,3/8,1/8. La somma è 1. Una moneta fisica può essere imperfetta: il modello richiede equità e indipendenza dichiarate, non dedotte da una pittura o da tre lanci osservati.
Regola e condizioni
Se X conta successi in n prove indipendenti con stessa probabilità p, il modello binomiale dà P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}. Per n=3 e p=1/2 si ottiene C(3,2)/8=3/8. C(n,k) conta in quanti ordini i k successi possono comparire. La formula non va applicata se le prove influenzano le successive o se p cambia senza modificare il modello. Una frequenza osservata su pochi tentativi non deve coincidere esattamente con la probabilità teorica.
Come procedere
- Definisci successo, n e p.
- Controlla indipendenza e p costante.
- Conta gli ordini con C(n,k).
- Calcola la probabilità e confrontala con 0 e 1.
Esempio svolto
Con tre lanci equi indipendenti, qual è la probabilità di esattamente una testa?
- Gli ordini sono TCC, CTC e CCT: tre.
- Ogni ordine ha probabilità (1/2)³=1/8.
P(X=1)=3/8. Per simmetria coincide con P(X=2), non con P(X=0).
Errore da evitare
Confondere «due teste» con un solo ordine TTC e assegnare 1/8.
Limite del modello
- Il diagramma illustrativo non è una registrazione sperimentale di lanci reali.
- Il DM assegna il nucleo al quinto anno; l'ordine e l'ampiezza di queste schede sono scelte editoriali.
Prova subito
Quanti esiti ordinati hanno tre lanci di moneta?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 8.
2³=8.
Quanti ordini danno esattamente due teste?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 3.
TTC, TCT e CTT.
P(esattamente due teste) nel modello equo?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 3/8.
Tre esiti su otto equiprobabili.
P(nessuna testa)?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 1/8.
Solo CCC.
La formula binomiale richiede prove indipendenti?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sì.
Altrimenti la probabilità del prodotto cambia.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / Dati e previsioni · QUINTO ANNO · Studiare caratteristiche di distribuzioni discrete e continue, fra cui la binomiale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · Quinto anno
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Esercitarsi su questo: Distribuzione binomiale: tre prove indipendenti