Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare e verificare i concetti di continuità: i due lati e il valore nel punto negli esempi e nelle attività della lezione.
- Calcolare limiti laterali in una funzione a tratti.
- Applicare il criterio di continuità.
- Distinguere salto e valore isolato.
Prima di iniziare
- Limiti semplici
- Funzioni definite a tratti
Per capire
Una funzione è continua in a quando f(a) esiste e coincide con il limite della funzione per x che tende ad a. Se f(x)=x+1 per x<2 e f(x)=x²−1 per x≥2, avvicinandosi a 2 da sinistra si ottiene 3 e da destra 3; inoltre f(2)=2²−1=3. Qui la funzione è continua in 2. Se invece il secondo tratto fosse x², il limite da destra sarebbe 4 e non esisterebbe un unico limite bilaterale: un solo valore assegnato a f(2) non riparerebbe il salto.
Regola e condizioni
Controlla nell'ordine: dominio nel punto, limite sinistro, limite destro, valore f(a). Se i due limiti laterali non coincidono, la funzione non è continua in a qualunque sia f(a). Se coincidono ma f(a) è diverso o manca, la discontinuità è eliminabile modificando solo quel valore. Le immagini di curve possono suggerire un salto o un foro, ma occorre che i tratti e le scale siano esplicitati per ricavare numeri.
Come procedere
- Calcola il limite dal tratto a sinistra.
- Calcola quello dal tratto a destra.
- Se coincidono, confrontali con f(a).
- Classifica il difetto senza inventare valori mancanti.
Esempio svolto
g(x)=2x per x<1 e g(x)=x+1 per x≥1. È continua in 1?
- Da sinistra 2x tende a 2.
- Da destra x+1 tende a 2.
- g(1)=1+1=2.
Sì, perché limiti laterali e valore coincidono in 2. Tutti i tre controlli richiesti danno lo stesso numero.
Errore da evitare
Dichiarare continuità appena i due limiti sono uguali, senza controllare il valore nel punto.
Limite del modello
- Il disegno della lezione è un richiamo visivo, non il grafico in scala delle funzioni qui scritte.
- Il DM assegna il nucleo al quinto anno; l'ordine e l'ampiezza di queste schede sono scelte editoriali.
Prova subito
Se f(x)=x+1 per x<2, limite sinistro in 2?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 3.
x+1 tende a 3.
Se f(x)=x² per x≥2, limite destro in 2?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 4.
x² tende a 4.
Con quei due tratti, esiste il limite bilaterale in 2?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
3 e 4 differiscono.
Se i due lati tendono a 5 ma f(2)=7, è continua?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
Il valore non coincide con il limite.
Se i due lati tendono a 5 e f(2)=7, quale valore rende continua la funzione?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: f(2)=5.
La modifica elimina il difetto nel punto.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / Relazioni e funzioni · QUINTO ANNO · Acquisire continuità e limite di funzione nel calcolo infinitesimale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · Quinto anno
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Esercitarsi su questo: Continuità: i due lati e il valore nel punto