Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare e verificare i concetti di coordinate nello spazio: leggere un piano negli esempi e nelle attività della lezione.
- Verificare se un punto appartiene a un piano.
- Trovare le intersezioni con gli assi.
- Distinguere una rappresentazione schematica dall'equazione.
Prima di iniziare
- Coordinate nel piano
- Equazioni lineari
Per capire
Nello spazio un punto ha tre coordinate (x,y,z). L'equazione x+y+z=6 descrive un piano: tutti e soli i punti le cui coordinate sommano 6. Il punto (1,2,3) vi appartiene, perché 1+2+3=6; (1,2,4) non vi appartiene. Per trovare l'intersezione con l'asse x, si pongono y=z=0, ottenendo (6,0,0). Analogamente si trovano (0,6,0) e (0,0,6). Tre punti non allineati rendono visibile l'orientamento del piano, ma la figura artistica non sostituisce la verifica algebrica.
Regola e condizioni
Per un piano ax+by+cz=d, sostituisci le tre coordinate del punto nell'equazione: l'uguaglianza vera è il criterio di appartenenza. Per l'intersezione con un asse annulla le altre due coordinate; se il coefficiente dell'asse è zero, l'esito può essere nessuna intersezione oppure l'intero asse, secondo d. Il vettore (a,b,c), se non è nullo, è normale al piano. Non confondere le coordinate di un punto con le lunghezze di un solido disegnato in prospettiva.
Come procedere
- Scrivi l'equazione e identifica le variabili.
- Sostituisci un punto per verificarne l'appartenenza.
- Per un'intersezione, annulla le altre coordinate.
- Controlla il risultato nell'equazione originaria.
Esempio svolto
Per il piano 2x+y+z=4, trova l'intersezione con l'asse x e verifica (1,1,1).
- Su x, y=z=0: 2x=4, dunque x=2.
- Per (1,1,1), 2·1+1+1=4.
Intersezione (2,0,0); anche (1,1,1) appartiene al piano. In entrambi i casi il membro sinistro vale 4.
Errore da evitare
Porre a zero anche la coordinata dell'asse cercato e ottenere solo l'origine.
Limite del modello
- L'illustrazione è qualitativa; le coordinate esatte sono solo quelle dichiarate nel testo.
- Il DM assegna il nucleo al quinto anno; l'ordine e l'ampiezza di queste schede sono scelte editoriali.
Prova subito
(2,2,2) appartiene a x+y+z=6?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sì.
La somma vale 6.
(2,2,3) appartiene allo stesso piano?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
La somma vale 7.
Intersezione di x+y+z=6 con l'asse x?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (6,0,0).
Poni y=z=0.
Intersezione dello stesso piano con l'asse z?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (0,0,6).
Poni x=y=0.
Un vettore normale a 2x+y+z=4?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (2,1,1).
Sono i coefficienti di x,y,z.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / Geometria · QUINTO ANNO · Usare coordinate cartesiane nello spazio per studiare analiticamente rette, piani e sfere. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · Quinto anno
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