Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare e verificare i concetti di equazione differenziale: una funzione e la sua variazione negli esempi e nelle attività della lezione.
- Distinguere equazione e soluzione.
- Verificare una funzione per sostituzione.
- Usare una condizione iniziale per scegliere una soluzione.
Prima di iniziare
- Derivata dell'esponenziale
- Sostituzione in equazioni
Per capire
Un'equazione differenziale collega una funzione incognita alle sue derivate. In y'=2y la velocità di variazione è, in ogni punto, il doppio del valore corrente. La funzione y(x)=e^{2x} soddisfa la relazione: la sua derivata è 2e^{2x}. Anche y(x)=3e^{2x} la soddisfa. Il valore iniziale y(0)=3 distingue il secondo esempio dal primo. Questo modello matematico non dice da solo quale grandezza reale cresca né per quanto tempo la crescita esponenziale sia plausibile.
Regola e condizioni
Per verificare una candidata y(x), calcola y' e confrontala con il membro destro usando la stessa x. La relazione differenziale da sola può ammettere molte soluzioni; una condizione iniziale aggiunge un vincolo. Per y=Ce^{2x}, la derivata è 2Ce^{2x}=2y, e y(0)=C. Questa verifica mostra che tutte queste funzioni sono soluzioni; per dimostrare che non ve ne siano altre occorre un ragionamento ulteriore. In un'applicazione verifica anche unità, ipotesi e dominio del modello.
Come procedere
- Leggi l'equazione come rapporto tra y e y'.
- Deriva la funzione candidata.
- Sostituisci entrambi i membri e confronta.
- Se c'è un dato iniziale, imponilo separatamente.
Esempio svolto
Verifica se y=4e^{2x} soddisfa y'=2y e il dato y(0)=4.
- y'=8e^{2x}.
- 2y=8e^{2x}, quindi l'equazione è soddisfatta.
- y(0)=4e⁰=4.
Sì: soddisfa sia l'equazione sia il dato iniziale. I due membri coincidono per ogni x nel dominio reale.
Errore da evitare
Comprovare l'equazione solo in x=0 e chiamarlo una prova per ogni x.
Limite del modello
- La scheda verifica candidati; non dimostra l'unicità della soluzione per il problema iniziale.
- Il DM assegna il nucleo al quinto anno; l'ordine e l'ampiezza di queste schede sono scelte editoriali.
Prova subito
Derivata di 3e^{2x}?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 6e^{2x}.
La regola della catena moltiplica per 2.
y=3e^{2x} soddisfa y'=2y?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sì.
Entrambi i membri valgono 6e^{2x}.
Per y=Ce^{2x}, quanto vale y(0)?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: C.
e⁰=1.
Con y(0)=5, quale C scegliere in quella famiglia?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: C=5.
Il valore iniziale fissa la costante.
y=2x soddisfa y'=2y per ogni x?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
y'=2 mentre 2y=4x.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / Relazioni e funzioni · QUINTO ANNO · Comprendere equazioni differenziali, soluzioni ed esempi significativi in modellizzazione. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · Quinto anno
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Esercitarsi su questo: Equazione differenziale: una funzione e la sua variazione