Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare e verificare i concetti di il limite descrive un avvicinamento, non il valore nel punto negli esempi e nelle attività della lezione.
- Distinguere f(a) da lim x→a f(x).
- Semplificare una frazione per x diverso dal punto escluso.
- Controllare il risultato da entrambi i lati.
Prima di iniziare
- Scomposizione di polinomi
- Dominio di una frazione algebrica
Per capire
Il limite di una funzione in un punto descrive a quale valore si avvicinano le uscite quando l'ingresso si avvicina al punto, senza imporre che la funzione sia definita proprio lì. Consideriamo f(x)=(x²−4)/(x−2), definita per x≠2. Per ogni x ammesso, x²−4=(x−2)(x+2), quindi f(x)=x+2. Quando x tende a 2 da sinistra e da destra, x+2 tende a 4. Non si può però scrivere f(2)=4 per la funzione originaria: il denominatore in 2 è zero. La curva nell'immagine suggerisce vicinanza e tangente, ma non mostra una scala né il foro specifico di questo caso.
Regola e condizioni
Per verificare un limite finito semplice, individua il dominio, trasforma l'espressione soltanto dove è lecito e controlla che i due limiti laterali coincidano. La cancellazione di x−a è lecita per x≠a e serve a studiare l'avvicinamento, non a reinserire automaticamente a nel dominio. Se i valori da sinistra e destra si avvicinano a numeri diversi, il limite bilaterale non esiste. Una tabella numerica aiuta, ma una trasformazione algebrica giustifica il caso studiato con maggior generalità.
Come procedere
- Trova i valori esclusi dal dominio.
- Scomponi e semplifica solo per ingressi ammessi.
- Calcola l'espressione semplificata vicino al punto da entrambi i lati.
- Distingui il limite ottenuto dal valore della funzione nel punto.
Esempio svolto
Calcola lim x→3 (x²−9)/(x−3).
- La funzione non è definita per x=3.
- Per x≠3, (x²−9)/(x−3)=(x−3)(x+3)/(x−3)=x+3.
- Avvicinandosi a 3 da entrambi i lati, x+3 tende a 6.
Il limite è 6; la funzione originaria non ha valore in x=3. A 2,9 l'espressione semplificata vale 5,9 e a 3,1 vale 6,1: entrambi si avvicinano a 6.
Errore da evitare
Sostituire x=3 nella frazione originaria e chiamare 0/0 il valore del limite; 0/0 segnala che serve una trasformazione, non è una risposta.
Limite del modello
- Il disegno non fornisce coordinate esatte; i calcoli dipendono esclusivamente dalle funzioni scritte.
- Il DM assegna il nucleo al quinto anno; l'ordine e l'ampiezza di queste schede sono scelte editoriali.
Prova subito
Per x≠1, semplifica (x²−1)/(x−1).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x+1.
x²−1=(x−1)(x+1).
Calcola lim x→1 (x²−1)/(x−1).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2.
La forma semplificata tende a 1+1.
La frazione (x²−1)/(x−1) ha un valore in x=1?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
Il denominatore sarebbe zero.
Se un lato tende a 2 e l'altro a 5, esiste il limite bilaterale?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
I due avvicinamenti non concordano.
«0/0 è il limite»: correggi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: È una forma indeterminata dell'espressione diretta.
Serve analizzare il comportamento vicino al punto.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / Relazioni e funzioni · QUINTO ANNO · Acquisire il concetto di limite di successione e funzione e calcolare limiti semplici. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · Quinto anno
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Esercitarsi su questo: Il limite descrive un avvicinamento, non il valore nel punto