Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare e verificare i concetti di ottimizzare un'area con un vincolo negli esempi e nelle attività della lezione.
- Tradurre un perimetro fissato in un vincolo.
- Massimizzare una parabola nel dominio valido.
- Controllare i casi limite.
Prima di iniziare
- Area e perimetro del rettangolo
- Parabola e derivata
Per capire
Un problema di ottimizzazione sceglie il valore migliore tra possibilità ammesse. Per un rettangolo con perimetro 20 unità, se un lato è x e l'altro y, 2x+2y=20, quindi y=10−x. I lati devono essere positivi: 0<x<10. L'area è A(x)=x(10−x)=10x−x². La parabola concava ha il vertice in x=5, dove A=25. I lati sono entrambi 5: nel modello, il quadrato è il rettangolo con area massima. Il disegno di un rettangolo non fornisce da solo perimetro o unità; questi sono dati del problema.
Regola e condizioni
Prima di derivare, definisci le variabili e il dominio fisicamente ammissibile. Il massimo interno si cerca dove A'=0: qui A'=10−2x, dunque x=5. Si controlla che il punto sia nel dominio e che A''=−2<0; vicino ai confini l'area tende a zero. La conclusione riguarda esattamente i rettangoli di perimetro 20 con lati positivi. Se si aggiungono costi, ostacoli o altri vincoli, il risultato può cambiare.
Come procedere
- Scrivi vincolo e dominio.
- Esprimi l'area in una variabile.
- Trova il punto critico e classificane il tipo.
- Ricostruisci entrambi i lati e controlla i confini.
Esempio svolto
Con perimetro 12, quale rettangolo ha area massima?
- x+y=6 e A=x(6−x), con 0<x<6.
- A'=6−2x=0 dà x=3; allora y=3.
- La parabola è concava e ai confini l'area tende a zero.
Il quadrato 3×3, con area 9 unità quadrate. Un rettangolo 2×4 ha lo stesso perimetro ma area 8<9.
Errore da evitare
Trattare x=0 come rettangolo valido o scegliere il massimo senza ricostruire y.
Limite del modello
- L'ottimo dipende dal perimetro e dalla classe di figure ammessa, non da un'immagine qualitativa.
- Il DM assegna il nucleo al quinto anno; l'ordine e l'ampiezza di queste schede sono scelte editoriali.
Prova subito
Perimetro 20: se un lato è x, l'altro è?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 10−x.
Da x+y=10.
Quale intervallo rende entrambi i lati positivi?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 0<x<10.
Anche 10−x deve essere positivo.
Derivata di 10x−x²?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 10−2x.
Si deriva termine per termine.
Dove 10−2x=0?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=5.
Dividi 10 per 2.
Area del rettangolo ottimo?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 25 unità quadrate.
5×5=25.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / Relazioni e funzioni · QUINTO ANNO · Acquisire familiarità con ottimizzazione e applicazioni in ambiti modellizzati. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · Quinto anno