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Prova-modelo original · Matemática A · referência 2026 · Soluciones

Prueba

Exame Nacional de Matemática A

Convocatoria

2026

Curso

12-ano

Materia

matematica-a

Caracter

original-editorial

Advertencia

Prova original de treino, independente do IAVE; referência de formato de 2026, sem atribuição de validade para 2027.

Instruções

  1. Material de treino original e independente; não é uma prova oficial do IAVE.

  2. Tempo de trabalho: 150 minutos; pode usar mais 30 minutos de tolerância.

  3. Há 18 posições: 12 obrigatórias e 6 facultativas. Resolva as obrigatórias; das facultativas contam as três pontuações mais altas. Pode responder às seis.

  4. Nas posições 5, 9 e 13, escolha apenas uma variante: AE2018 ou AE2023. Se responder às duas, corrige-se apenas a primeira que apresentar. Cada par ocupa uma única posição e nunca duplica pontos.

  5. Nos itens de escolha múltipla, indique uma única letra. Nos restantes, apresente cálculos e justificação. Sem pedido de aproximação, use valores exatos.

  6. Pode usar régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Respeite as restrições de calculadora indicadas em cada enunciado.

  7. Registe as respostas por número e, nos pares, por referencial. Consulte as soluções apenas depois de terminar.

Duracion minutos

150

Tolerancia minutos

30

Pontuação máxima

200

Partes

  1. Item 1

    Posicion

    1

    Opções

    1. Comissão com condição
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Cálculo Combinatório

      Pontuação máxima

      12

      Atividade

      Um clube tem 7 sócios, incluindo a Rita e o Luís. Escolhe, sem distinguir cargos, uma comissão de 3 sócios. Quantas comissões contêm exatamente um destes dois sócios?

      Partes
      1. Pontos

        12

        Atividade

        Selecione uma única opção.

        Tipo respuesta

        eleccion-unica

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        A: 20

        Pasos

        1. Escolhe-se Rita ou Luís: 2 possibilidades.

        2. Os outros dois membros são escolhidos entre os restantes 5: C(5,2)=10.

        3. O produto 2×10=20 conta cada comissão uma só vez.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          12

          Descripcion

          Seleciona apenas a opção A. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.

        Soluções e critérios

        Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.

        Opções
        1. Texto

          20

        2. Texto

          25

        3. Texto

          35

        4. Texto

          40

        Soluções e critérios

        A

        Explicacion distractores
        B

        25 é o quadrado de 5; não corresponde a escolher dois membros distintos.

        C

        35=C(7,3) conta também as comissões com ambos ou sem nenhum.

        D

        40 distingue a ordem dos dois membros escolhidos, duplicando comissões.

      Soluções e critérios

      25 é o quadrado de 5; não corresponde a escolher dois membros distintos. / 35=C(7,3) conta também as comissões com ambos ou sem nenhum. / 40 distingue a ordem dos dois membros escolhidos, duplicando comissões.

      Soluções e critérios

      clave-estructurada

      Posicion

      1

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    12

  2. Item 2

    Posicion

    2

    Opções

    1. Continuidade com exponencial
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Seja f(x)=(e^(2x)−1)/x para x≠0 e f(0)=k. Determine k para que f seja contínua em 0, sem recorrer à calculadora.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        k=2.

        Pasos

        1. Para x≠0, f(x)=2[(e^(2x)−1)/(2x)].

        2. Com u=2x, u→0 e o limite notável (e^u−1)/u→1 dá lim f(x)=2.

        3. A continuidade exige f(0)=lim f(x), pelo que k=2.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Reescreve o quociente para usar o limite notável.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Obtém o limite 2, com a mudança de variável ou método curricular válido.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Impõe continuidade e conclui k=2.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Substituir x=0 no quociente indefinido em vez de calcular o limite.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      2

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  3. Item 3

    Posicion

    3

    Opções

    1. Correlação e previsão
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Estatística

      Pontuação máxima

      12

      Atividade

      Um modelo de regressão linear relaciona o tempo x, em minutos, com uma distância y, em metros: ŷ=−1,8x+52. O quadrado do coeficiente de correlação é r²=0,81. Para x=10, qual é o par (r, ŷ)?

      Partes
      1. Pontos

        12

        Atividade

        Selecione uma única opção.

        Tipo respuesta

        eleccion-unica

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        C: (−0,9; 34)

        Pasos

        1. A inclinação negativa fixa o sinal de r: r=−√0,81=−0,9.

        2. A previsão é −1,8×10+52=34 m.

        3. A previsão não implica uma distância exata para cada observação.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          12

          Descripcion

          Seleciona apenas a opção C. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.

        Soluções e critérios

        Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.

        Opções
        1. Texto

          (0,9; 34)

        2. Texto

          (−0,81; 34)

        3. Texto

          (−0,9; 34)

        4. Texto

          (−0,9; 70)

        Soluções e critérios

        C

        Explicacion distractores
        A

        O sinal positivo contradiz a inclinação negativa.

        B

        0,81 é r²; é preciso extrair a raiz.

        D

        70 resulta de trocar o sinal da inclinação.

      Soluções e critérios

      O sinal positivo contradiz a inclinação negativa. / 0,81 é r²; é preciso extrair a raiz. / 70 resulta de trocar o sinal da inclinação.

      Soluções e critérios

      clave-estructurada

      Posicion

      3

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    12

  4. Item 4

    Posicion

    4

    Opções

    1. Plano perpendicular
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Geometria

      Pontuação máxima

      12

      Atividade

      Num referencial ortonormado do espaço, r tem vetor diretor (2,−1,3). Qual é uma equação do plano perpendicular a r e que passa por P=(1,2,−1)?

      Partes
      1. Pontos

        12

        Atividade

        Selecione uma única opção.

        Tipo respuesta

        eleccion-unica

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        B: 2x−y+3z=−3

        Pasos

        1. Um plano perpendicular à reta tem normal paralelo a (2,−1,3).

        2. Escreve-se 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0.

        3. Simplificar dá 2x−y+3z=−3.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          12

          Descripcion

          Seleciona apenas a opção B. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.

        Soluções e critérios

        Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.

        Opções
        1. Texto

          2x−y+3z=3

        2. Texto

          2x−y+3z=−3

        3. Texto

          x+2y−z=6

        4. Texto

          2x+y+3z=1

        Soluções e critérios

        B

        Explicacion distractores
        A

        A normal é correta, mas P dá −3 e não 3.

        C

        P pertence ao plano, mas a normal não é paralela ao diretor de r.

        D

        A normal tem a segunda coordenada errada; o plano não é perpendicular à reta.

      Soluções e critérios

      A normal é correta, mas P dá −3 e não 3. / P pertence ao plano, mas a normal não é paralela ao diretor de r. / A normal tem a segunda coordenada errada; o plano não é perpendicular à reta.

      Soluções e critérios

      clave-estructurada

      Posicion

      4

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    12

  5. Item 5

    Posicion

    5

    Opções

    1. Paridade
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      12

      Atividade

      Qual das funções, todas de domínio R, é ímpar?

      Partes
      1. Pontos

        12

        Atividade

        Selecione uma única opção.

        Tipo respuesta

        eleccion-unica

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        B: g(x)=x³+x

        Pasos

        1. Uma função ímpar verifica g(−x)=−g(x).

        2. Para g, (−x)³+(−x)=−(x³+x), em todo R.

        3. As outras três funções não satisfazem essa igualdade.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          12

          Descripcion

          Seleciona apenas a opção B. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.

        Soluções e critérios

        Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.

        Opções
        1. Texto

          f(x)=x²+1

        2. Texto

          g(x)=x³+x

        3. Texto

          h(x)=x³+1

        4. Texto

          j(x)=e^x

        Soluções e critérios

        B

        Explicacion distractores
        A

        É par e não é a função nula.

        C

        A constante 1 impede a igualdade h(−x)=−h(x).

        D

        e^(−x) é positivo, enquanto −e^x é negativo.

      Soluções e critérios

      É par e não é a função nula. / A constante 1 impede a igualdade h(−x)=−h(x). / e^(−x) é positivo, enquanto −e^x é negativo.

      Soluções e critérios

      clave-estructurada

      Posicion

      5

      Obligatorio

      True

      Referencial

      AE2018

    2. Soma infinita
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Sucessões

      Pontuação máxima

      12

      Atividade

      Uma progressão geométrica tem primeiro termo 6 e razão −1/3. Qual é a soma de todos os seus termos?

      Partes
      1. Pontos

        12

        Atividade

        Selecione uma única opção.

        Tipo respuesta

        eleccion-unica

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        C: 9/2

        Pasos

        1. Como |−1/3|<1, a soma converge.

        2. S=6/[1−(−1/3)]=6/(4/3)=9/2.

        3. O sinal alternado não impede a convergência.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          12

          Descripcion

          Seleciona apenas a opção C. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.

        Soluções e critérios

        Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.

        Opções
        1. Texto

          9

        2. Texto

          −18

        3. Texto

          9/2

        4. Texto

          4

        Soluções e critérios

        C

        Explicacion distractores
        A

        9 usa indevidamente a razão positiva 1/3.

        B

        −18 divide o primeiro termo pela razão, não por 1−r.

        D

        4 é a soma dos dois primeiros termos, não de todos.

      Soluções e critérios

      9 usa indevidamente a razão positiva 1/3. / −18 divide o primeiro termo pela razão, não por 1−r. / 4 é a soma dos dois primeiros termos, não de todos.

      Soluções e critérios

      clave-estructurada

      Posicion

      5

      Obligatorio

      True

      Referencial

      AE2023

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    12

  6. Item 6

    Posicion

    6

    Opções

    1. Ângulo entre vetores
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Geometria

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Considere A=(1,0,2), B=(3,1,2) e C=(2,2,4). Determine a amplitude do ângulo BAC, em graus, arredondada às décimas.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        53,4°.

        Pasos

        1. AB=(2,1,0) e AC=(1,2,2).

        2. AB·AC=4, ||AB||=√5 e ||AC||=3, logo cos θ=4/(3√5).

        3. θ=arccos[4/(3√5)]≈53,3957°, pelo que θ≈53,4°.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Obtém os dois vetores com origem em A.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Calcula produto escalar e normas e estabelece o quociente correto.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Calcula o ângulo em graus e arredonda às décimas.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Usar BC no lugar de AC ou manter a calculadora em radianos.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      6

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  7. Item 7

    Posicion

    7

    Opções

    1. Quociente complexo
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Números complexos

      Pontuação máxima

      12

      Atividade

      Se z=(1+2i)/(2−i), qual é a forma algébrica de z?

      Partes
      1. Pontos

        12

        Atividade

        Selecione uma única opção.

        Tipo respuesta

        eleccion-unica

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        D: i

        Pasos

        1. Multiplica-se numerador e denominador por 2+i.

        2. (1+2i)(2+i)=5i e (2−i)(2+i)=5.

        3. Assim, z=i.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          12

          Descripcion

          Seleciona apenas a opção D. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.

        Soluções e critérios

        Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.

        Opções
        1. Texto

          1+i

        2. Texto

          −i

        3. Texto

          1

        4. Texto

          i

        Soluções e critérios

        D

        Explicacion distractores
        A

        Ignora os produtos cruzados e o termo i².

        B

        Troca o sinal no numerador ao usar o conjugado.

        C

        Cancela termos de uma soma como se fossem fatores.

      Soluções e critérios

      Ignora os produtos cruzados e o termo i². / Troca o sinal no numerador ao usar o conjugado. / Cancela termos de uma soma como se fossem fatores.

      Soluções e critérios

      clave-estructurada

      Posicion

      7

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    12

  8. Item 8

    Posicion

    8

    Opções

    1. Equação logarítmica
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Resolva ln(x−1)+ln(x+1)=ln(8), em R, sem recorrer à calculadora.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        x=3.

        Pasos

        1. Os dois argumentos têm de ser positivos, impondo x>1.

        2. ln[(x−1)(x+1)]=ln 8 implica x²−1=8, logo x=±3.

        3. Só x=3 pertence ao domínio; verifica ln2+ln4=ln8.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Impõe x>1.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Usa a propriedade do logaritmo e obtém os dois candidatos.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Exclui −3 e apresenta a solução 3.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Aceitar −3 embora os logaritmos reais não estejam definidos.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      8

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  9. Item 9

    Posicion

    9

    Opções

    1. Equação trigonométrica
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Resolva 2 cos²x−3 cos x+1=0 em [0,2π], sem recorrer à calculadora.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        {0, π/3, 5π/3, 2π}.

        Pasos

        1. Com u=cos x, 2u²−3u+1=(2u−1)(u−1)=0.

        2. cos x=1 dá 0 e 2π; cos x=1/2 dá π/3 e 5π/3 no intervalo indicado.

        3. Todos os quatro valores pertencem a [0,2π] e satisfazem a equação.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Fatora a equação em cos x.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Resolve ambas as equações trigonométricas no intervalo.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Apresenta o conjunto completo, incluindo os extremos.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Perder 2π por confundir o intervalo fechado com [0,2π[.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      9

      Obligatorio

      True

      Referencial

      AE2018

    2. Bissecção
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      A equação x³−x−1=0 tem uma única raiz em [1,2]. Aplique o método da bissecção até obter um intervalo de amplitude inferior a 0,05. Apresente o intervalo e use o seu ponto médio como aproximação. Conserve os valores exatos dos pontos médios nos cálculos.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        Intervalo [1,3125; 1,34375]; aproximação 1,328125; erro ≤0,015625.

        Pasos

        1. Para g(x)=x³−x−1, g(1)=−1 e g(2)=5. A continuidade e g′=3x²−1>0 em [1,2] garantem existência e unicidade.

        2. Os pontos médios sucessivos são 1,5 (+), 1,25 (−), 1,375 (+), 1,3125 (−), 1,34375 (+), onde o sinal é o de g.

        3. Os intervalos ficam [1;1,5], [1,25;1,5], [1,25;1,375], [1,3125;1,375], [1,3125;1,34375]. A última amplitude é 0,03125<0,05.

        4. O ponto médio final é 1,328125 e a distância à raiz é, no máximo, metade da amplitude: 0,015625.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          2

          Descripcion

          Inicia com os sinais nos extremos.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Regista pontos médios e atualiza os intervalos pelos sinais.

        3. Pontos

          3

          Descripcion

          Obtém um intervalo com amplitude inferior a 0,05.

        4. Pontos

          3

          Descripcion

          Apresenta o ponto médio e a estimativa do erro.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Escolher sempre a metade direita, sem verificar o sinal.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      9

      Obligatorio

      True

      Referencial

      AE2023

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  10. Item 10

    Posicion

    10

    Opções

    1. Tangente à curva
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Seja f(x)=x e^(−x), de domínio R. Determine, sem calculadora, a equação da tangente ao gráfico no ponto de abcissa 2.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        y=e^(−2)(4−x).

        Pasos

        1. Pela regra do produto, f′(x)=e^(−x)(1−x).

        2. f(2)=2e^(−2) e f′(2)=−e^(−2).

        3. A tangente é y−2e^(−2)=−e^(−2)(x−2), equivalente a y=e^(−2)(4−x).

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Deriva corretamente o produto.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Calcula ordenada e declive no ponto.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Escreve e simplifica a equação da tangente.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Usar f(2) como declive em vez de f′(2).

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      10

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  11. Item 11

    Posicion

    11

    Opções

    1. Máximo num domínio fechado
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Num modelo de produção, o lucro diário, em centenas de euros, é L(x)=−x³+12x²−36x+40, com 0≤x≤8. Determine o lucro máximo e todos os valores de x que o permitem, justificando que é um máximo absoluto.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        Lucro máximo de 4000 euros, atingido em x=0 e x=6.

        Pasos

        1. L′(x)=−3(x−2)(x−6), que se anula em 2 e 6.

        2. Os candidatos no intervalo fechado são 0,2,6,8. Obtém-se L(0)=40, L(2)=8, L(6)=40 e L(8)=8.

        3. O maior valor é 40, atingido em x=0 e x=6. Portanto, ambos permitem lucro máximo de 4000 euros.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Deriva e encontra os pontos estacionários.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Compara os valores em 0,2,6,8.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Identifica todos os maximizantes e o lucro máximo em euros.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Considerar apenas o máximo relativo em 6 e esquecer o extremo x=0.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      11

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  12. Item 12

    Posicion

    12

    Opções

    1. Condicionamento numa tabela
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Probabilidades

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Entre 180 participantes de um curso, 108 escolheram a oficina A. Dos participantes de A, 27 entregaram o projeto; entre os outros 72, entregaram-no 18. Escolhe-se um participante ao acaso. Determine P(A | entregou) e averigue se escolher A e entregar o projeto são acontecimentos independentes.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        P(A | entregou)=3/5; os acontecimentos são independentes.

        Pasos

        1. Entregaram 27+18=45 participantes, dos quais 27 pertencem a A: P(A|E)=27/45=3/5.

        2. P(A)=108/180=3/5 e P(E)=45/180=1/4.

        3. P(A∩E)=27/180=3/20=(3/5)(1/4); portanto, há independência.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Fixa o universo condicionado e calcula 27/45.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Calcula as probabilidades marginal e conjunta adequadas.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Compara produto e interseção e conclui independência.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Dividir 27 por 108 ao pedir P(A|E), ou inferir causalidade da tabela.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      12

      Obligatorio

      True

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    True

    Pontos

    14

  13. Item 13

    Posicion

    13

    Opções

    1. Coeficiente binomial
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Cálculo Combinatório

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Sem recorrer à calculadora, determine o coeficiente de x³ no desenvolvimento de (2+x)^6.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        160.

        Pasos

        1. No binómio de Newton, o termo com x³ é C(6,3)·2^(6−3)·x³.

        2. C(6,3)=6×5×4/(3×2×1)=20 e 2³=8.

        3. O coeficiente pedido é 20×8=160.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Identifica o termo que contém x³.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Calcula o coeficiente binomial e a potência de 2.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Obtém 160, distinguindo coeficiente e termo.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Esquecer o fator 2³ ou dar o termo 160x³ em vez do coeficiente.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      13

      Obligatorio

      False

      Referencial

      AE2018

    2. Eleição por preferências
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Modelos matemáticos nas eleições

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Uma turma escolhe entre projetos A, B e C. Os boletins apresentam estas preferências, da primeira à terceira: 9 votos A>B>C; 7 votos B>C>A; 4 votos C>B>A. Atribuem-se 3, 2 e 1 pontos à primeira, segunda e terceira preferências. Determine o projeto vencedor e explique por que não coincide com o vencedor por maioria simples das primeiras preferências.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        B vence por pontos (47); A venceria por maioria simples com 9 primeiras preferências.

        Pasos

        1. A recebe 9×3+7×1+4×1=38; B recebe 9×2+7×3+4×2=47; C recebe 9×1+7×2+4×3=35.

        2. B tem a maior pontuação, logo é o vencedor pelo método indicado.

        3. Nas primeiras preferências, A tem 9, B tem 7 e C tem 4. A vence por maioria simples; o método de pontos também considera as preferências seguintes.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          6

          Descripcion

          Calcula corretamente as três pontuações.

        2. Pontos

          4

          Descripcion

          Identifica B como vencedor por pontos.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Compara as primeiras preferências e explica a divergência.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Confundir maioria simples com maioria absoluta: 9 de 20 não excede metade.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      13

      Obligatorio

      False

      Referencial

      AE2023

    Elegir

    1

    Obligatorio

    False

    Pontos

    14

  14. Item 14

    Posicion

    14

    Opções

    1. Círculo e parâmetro
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Geometria

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Para a>0, sejam A=(−√a,a), B=(√a,a) e O=(0,0). Determine, em função de a, o raio da circunferência que passa pelos três pontos.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        R=(a+1)/2.

        Pasos

        1. Os pontos A e B têm a mesma ordenada e são simétricos; a mediatriz de AB é x=0. O centro é C=(0,c).

        2. Igualar CO² e CA² dá c²=a+(a−c)², logo 2ac=a+a² e c=(a+1)/2.

        3. Como a>0, c>0 e R=CO=c=(a+1)/2. A área do triângulo OAB é a√a>0, pelo que os pontos não são colineares.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Situa o centro na mediatriz.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Usa igualdade de distâncias para determinar c.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Identifica o raio e justifica a validade para a>0.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Usar metade de AB como raio embora O não pertença necessariamente a esse círculo.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      14

      Obligatorio

      False

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    False

    Pontos

    14

  15. Item 15

    Posicion

    15

    Opções

    1. Limiar exponencial
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      A concentração de uma substância é C(t)=80e^(−0,12t), em mg/L, para t≥0 minutos. Determine o primeiro instante em que C(t)≤15 mg/L. Apresente a expressão exata e uma aproximação às centésimas do minuto.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        t=ln(16/3)/0,12≈13,95 minutos.

        Pasos

        1. 80e^(−0,12t)≤15 equivale a e^(−0,12t)≤3/16.

        2. Aplicando ln e dividindo por −0,12, inverte-se a desigualdade: t≥ln(16/3)/0,12.

        3. A concentração é estritamente decrescente, logo o primeiro instante é o da igualdade: aproximadamente 13,9498036 minutos, isto é, 13,95.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Isola a exponencial e aplica o logaritmo.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Resolve a desigualdade com sentido correto e obtém o limiar exato.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Justifica o primeiro instante e arredonda às centésimas.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Não inverter a desigualdade ao dividir por um número negativo.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      15

      Obligatorio

      False

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    False

    Pontos

    14

  16. Item 16

    Posicion

    16

    Opções

    1. Amostra sem reposição
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Probabilidades

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Um lote tem 5 componentes certificados e 3 não certificados, todos identificáveis. Escolhem-se 3 componentes ao acaso, sem reposição, sendo equiprováveis todos os subconjuntos de 3. Determine a probabilidade de obter exatamente 2 certificados, como fração irredutível.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        15/28.

        Pasos

        1. Há C(8,3)=56 amostras possíveis.

        2. Para exatamente 2 certificados, escolhem-se 2 dos 5 certificados e 1 dos 3 restantes: C(5,2)C(3,1)=30 casos favoráveis.

        3. A probabilidade é 30/56=15/28.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Conta as amostras possíveis sem ordem.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Conta os casos favoráveis com as duas escolhas.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Divide e reduz a fração.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Aplicar uma binomial com probabilidade constante a extrações sem reposição.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      16

      Obligatorio

      False

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    False

    Pontos

    14

  17. Item 17

    Posicion

    17

    Opções

    1. Raízes cúbicas complexas
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Números complexos

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Resolva z³=−8i em C, sem calculadora. Apresente todas as raízes na forma algébrica.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        {√3−i, 2i, −√3−i}.

        Pasos

        1. Escreve-se −8i=8e^(i3π/2). Cada raiz tem módulo 2.

        2. Os argumentos são (3π/2+2kπ)/3=π/2+2kπ/3, k=0,1,2.

        3. Os argumentos π/2,7π/6,11π/6 dão 2i,−√3−i,√3−i. São três raízes distintas.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Escreve módulo e argumento do número dado.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Determina os três argumentos das raízes.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Converte as três raízes para forma algébrica.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Dividir o módulo por 3 ou apresentar só a raiz de argumento π/2.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      17

      Obligatorio

      False

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    False

    Pontos

    14

  18. Item 18

    Posicion

    18

    Opções

    1. Zeros da derivada e inflexão
      Prueba

      Exame Nacional de Matemática A

      Convocatoria

      2026

      Curso

      12-ano

      Materia

      matematica-a

      Caracter

      original-editorial

      Bloque

      Funções

      Pontuação máxima

      14

      Atividade

      Seja f(x)=x^4−4x³, de domínio R. Justifique que o ponto de abcissa 0 é um ponto de inflexão, mas não um extremo relativo.

      Partes
      1. Pontos

        14

        Atividade

        Apresente os cálculos e as justificações pedidos.

        Tipo respuesta

        desarrollo

        Soluções e critérios
        Soluções e critérios

        Em x=0 há inflexão e não há extremo relativo.

        Pasos

        1. f′(x)=4x²(x−3) é negativa tanto em ]−∞,0[ como em ]0,3[. Não muda de sinal em 0, logo não há extremo aí.

        2. f″(x)=12x(x−2) é positiva para x<0 e negativa para 0<x<2.

        3. A concavidade muda em 0 e f(0)=0; portanto, (0,0) é um ponto de inflexão com tangente horizontal.

        Soluções e critérios
        1. Pontos

          4

          Descripcion

          Calcula f′ e interpreta os sinais dos dois lados de 0.

        2. Pontos

          6

          Descripcion

          Calcula f″ e demonstra a mudança de concavidade.

        3. Pontos

          4

          Descripcion

          Conclui corretamente as duas afirmações.

        Soluções e critérios

        Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.

      Soluções e critérios

      Afirmar que todo zero de f′ é um extremo, ou que f″(0)=0 basta para inflexão.

      Soluções e critérios

      rubrica-manual

      Posicion

      18

      Obligatorio

      False

      Referencial

      comum

    Elegir

    1

    Obligatorio

    False

    Pontos

    14

Seleccion puntuacion

Obligatorios

  1. 1

  2. 2

  3. 3

  4. 4

  5. 5

  6. 6

  7. 7

  8. 8

  9. 9

  10. 10

  11. 11

  12. 12

Facultativos

  1. 13

  2. 14

  3. 15

  4. 16

  5. 17

  6. 18

Mejores facultativos

3

Subtotal obligatorio

158

Subtotal facultativo

42

Sin respuesta

0

Formulario

Formulário de apoio editorial

Geometria

  1. Arco: L=rα; setor: A=r²α/2 (α em radianos).

  2. Polígono regular: A=(perímetro×apótema)/2.

  3. Cone: A_lateral=πrg; V=πr²h/3. Pirâmide: V=A_base h/3.

  4. Esfera: A=4πr²; V=4πr³/3.

Progressoes

  1. Aritmética: Sₙ=n(u₁+uₙ)/2.

  2. Geométrica: Sₙ=u₁(1−rⁿ)/(1−r), r≠1.

Trigonometria

  1. sen(a+b)=sen a cos b+cos a sen b.

  2. cos(a+b)=cos a cos b−sen a sen b.

Complexos

  1. (ρe^(iθ))ⁿ=ρⁿe^(inθ).

  2. Raízes de zⁿ=ρe^(iθ): ρ^(1/n)e^(i(θ+2kπ)/n), k=0,…,n−1.

Derivadas

  1. (u+v)′=u′+v′; (uv)′=u′v+uv′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v².

  2. (uⁿ)′=nu^(n−1)u′; (sen u)′=u′cos u; (cos u)′=−u′sen u.

  3. (tg u)′=u′/cos²u; (ln u)′=u′/u; (log_a u)′=u′/(u ln a).

  4. (e^u)′=u′e^u; (a^u)′=u′a^u ln a.

Limites

  1. lim(x→0) sen x/x=1; lim(x→0)(e^x−1)/x=1.

  2. lim(x→0) ln(1+x)/x=1; lim(n→∞)(1+1/n)ⁿ=e.

  3. lim(x→+∞) ln x/x=0; lim(x→+∞) x^p/e^x=0 para p>0.

Material de partida

Soluções e critérios