Prova-modelo original · Matemática A · referência 2026
Alumno · Student · Soluções e critérios
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Advertencia
Prova original de treino, independente do IAVE; referência de formato de 2026, sem atribuição de validade para 2027.
- https://iave.pt/wp-content/uploads/2025/11/IP-EX-MatA635-2026.pdf
- https://iave.pt/wp-content/uploads/2026/06/EX-MatA635-F1-2026_net.pdf
Instruções
Material de treino original e independente; não é uma prova oficial do IAVE.
Tempo de trabalho: 150 minutos; pode usar mais 30 minutos de tolerância.
Há 18 posições: 12 obrigatórias e 6 facultativas. Resolva as obrigatórias; das facultativas contam as três pontuações mais altas. Pode responder às seis.
Nas posições 5, 9 e 13, escolha apenas uma variante: AE2018 ou AE2023. Se responder às duas, corrige-se apenas a primeira que apresentar. Cada par ocupa uma única posição e nunca duplica pontos.
Nos itens de escolha múltipla, indique uma única letra. Nos restantes, apresente cálculos e justificação. Sem pedido de aproximação, use valores exatos.
Pode usar régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Respeite as restrições de calculadora indicadas em cada enunciado.
Registe as respostas por número e, nos pares, por referencial. Consulte as soluções apenas depois de terminar.
Duracion minutos
150
Tolerancia minutos
30
Pontuação máxima
200
Partes
Item 1
Posicion
1
Opções
Comissão com condição
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Cálculo Combinatório
Pontuação máxima
12
Atividade
Um clube tem 7 sócios, incluindo a Rita e o Luís. Escolhe, sem distinguir cargos, uma comissão de 3 sócios. Quantas comissões contêm exatamente um destes dois sócios?
Partes
Pontos
12
Atividade
Selecione uma única opção.
Tipo respuesta
eleccion-unica
Soluções e critérios
Soluções e critérios
A: 20
Pasos
Escolhe-se Rita ou Luís: 2 possibilidades.
Os outros dois membros são escolhidos entre os restantes 5: C(5,2)=10.
O produto 2×10=20 conta cada comissão uma só vez.
Soluções e critérios
Pontos
12
Descripcion
Seleciona apenas a opção A. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.
Soluções e critérios
Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.
Opções
Texto
20
Texto
25
Texto
35
Texto
40
Soluções e critérios
A
Explicacion distractores
B
25 é o quadrado de 5; não corresponde a escolher dois membros distintos.
C
35=C(7,3) conta também as comissões com ambos ou sem nenhum.
D
40 distingue a ordem dos dois membros escolhidos, duplicando comissões.
Soluções e critérios
25 é o quadrado de 5; não corresponde a escolher dois membros distintos. / 35=C(7,3) conta também as comissões com ambos ou sem nenhum. / 40 distingue a ordem dos dois membros escolhidos, duplicando comissões.
Soluções e critérios
clave-estructurada
Posicion
1
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
12
Item 2
Posicion
2
Opções
Continuidade com exponencial
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
Seja f(x)=(e^(2x)−1)/x para x≠0 e f(0)=k. Determine k para que f seja contínua em 0, sem recorrer à calculadora.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
k=2.
Pasos
Para x≠0, f(x)=2[(e^(2x)−1)/(2x)].
Com u=2x, u→0 e o limite notável (e^u−1)/u→1 dá lim f(x)=2.
A continuidade exige f(0)=lim f(x), pelo que k=2.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Reescreve o quociente para usar o limite notável.
Pontos
6
Descripcion
Obtém o limite 2, com a mudança de variável ou método curricular válido.
Pontos
4
Descripcion
Impõe continuidade e conclui k=2.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Substituir x=0 no quociente indefinido em vez de calcular o limite.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
2
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 3
Posicion
3
Opções
Correlação e previsão
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Estatística
Pontuação máxima
12
Atividade
Um modelo de regressão linear relaciona o tempo x, em minutos, com uma distância y, em metros: ŷ=−1,8x+52. O quadrado do coeficiente de correlação é r²=0,81. Para x=10, qual é o par (r, ŷ)?
Partes
Pontos
12
Atividade
Selecione uma única opção.
Tipo respuesta
eleccion-unica
Soluções e critérios
Soluções e critérios
C: (−0,9; 34)
Pasos
A inclinação negativa fixa o sinal de r: r=−√0,81=−0,9.
A previsão é −1,8×10+52=34 m.
A previsão não implica uma distância exata para cada observação.
Soluções e critérios
Pontos
12
Descripcion
Seleciona apenas a opção C. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.
Soluções e critérios
Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.
Opções
Texto
(0,9; 34)
Texto
(−0,81; 34)
Texto
(−0,9; 34)
Texto
(−0,9; 70)
Soluções e critérios
C
Explicacion distractores
A
O sinal positivo contradiz a inclinação negativa.
B
0,81 é r²; é preciso extrair a raiz.
D
70 resulta de trocar o sinal da inclinação.
Soluções e critérios
O sinal positivo contradiz a inclinação negativa. / 0,81 é r²; é preciso extrair a raiz. / 70 resulta de trocar o sinal da inclinação.
Soluções e critérios
clave-estructurada
Posicion
3
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
12
Item 4
Posicion
4
Opções
Plano perpendicular
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Geometria
Pontuação máxima
12
Atividade
Num referencial ortonormado do espaço, r tem vetor diretor (2,−1,3). Qual é uma equação do plano perpendicular a r e que passa por P=(1,2,−1)?
Partes
Pontos
12
Atividade
Selecione uma única opção.
Tipo respuesta
eleccion-unica
Soluções e critérios
Soluções e critérios
B: 2x−y+3z=−3
Pasos
Um plano perpendicular à reta tem normal paralelo a (2,−1,3).
Escreve-se 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0.
Simplificar dá 2x−y+3z=−3.
Soluções e critérios
Pontos
12
Descripcion
Seleciona apenas a opção B. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.
Soluções e critérios
Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.
Opções
Texto
2x−y+3z=3
Texto
2x−y+3z=−3
Texto
x+2y−z=6
Texto
2x+y+3z=1
Soluções e critérios
B
Explicacion distractores
A
A normal é correta, mas P dá −3 e não 3.
C
P pertence ao plano, mas a normal não é paralela ao diretor de r.
D
A normal tem a segunda coordenada errada; o plano não é perpendicular à reta.
Soluções e critérios
A normal é correta, mas P dá −3 e não 3. / P pertence ao plano, mas a normal não é paralela ao diretor de r. / A normal tem a segunda coordenada errada; o plano não é perpendicular à reta.
Soluções e critérios
clave-estructurada
Posicion
4
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
12
Item 5
Posicion
5
Opções
Paridade
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
12
Atividade
Qual das funções, todas de domínio R, é ímpar?
Partes
Pontos
12
Atividade
Selecione uma única opção.
Tipo respuesta
eleccion-unica
Soluções e critérios
Soluções e critérios
B: g(x)=x³+x
Pasos
Uma função ímpar verifica g(−x)=−g(x).
Para g, (−x)³+(−x)=−(x³+x), em todo R.
As outras três funções não satisfazem essa igualdade.
Soluções e critérios
Pontos
12
Descripcion
Seleciona apenas a opção B. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.
Soluções e critérios
Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.
Opções
Texto
f(x)=x²+1
Texto
g(x)=x³+x
Texto
h(x)=x³+1
Texto
j(x)=e^x
Soluções e critérios
B
Explicacion distractores
A
É par e não é a função nula.
C
A constante 1 impede a igualdade h(−x)=−h(x).
D
e^(−x) é positivo, enquanto −e^x é negativo.
Soluções e critérios
É par e não é a função nula. / A constante 1 impede a igualdade h(−x)=−h(x). / e^(−x) é positivo, enquanto −e^x é negativo.
Soluções e critérios
clave-estructurada
Posicion
5
Obligatorio
True
Referencial
AE2018
Soma infinita
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Sucessões
Pontuação máxima
12
Atividade
Uma progressão geométrica tem primeiro termo 6 e razão −1/3. Qual é a soma de todos os seus termos?
Partes
Pontos
12
Atividade
Selecione uma única opção.
Tipo respuesta
eleccion-unica
Soluções e critérios
Soluções e critérios
C: 9/2
Pasos
Como |−1/3|<1, a soma converge.
S=6/[1−(−1/3)]=6/(4/3)=9/2.
O sinal alternado não impede a convergência.
Soluções e critérios
Pontos
12
Descripcion
Seleciona apenas a opção C. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.
Soluções e critérios
Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.
Opções
Texto
9
Texto
−18
Texto
9/2
Texto
4
Soluções e critérios
C
Explicacion distractores
A
9 usa indevidamente a razão positiva 1/3.
B
−18 divide o primeiro termo pela razão, não por 1−r.
D
4 é a soma dos dois primeiros termos, não de todos.
Soluções e critérios
9 usa indevidamente a razão positiva 1/3. / −18 divide o primeiro termo pela razão, não por 1−r. / 4 é a soma dos dois primeiros termos, não de todos.
Soluções e critérios
clave-estructurada
Posicion
5
Obligatorio
True
Referencial
AE2023
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
12
Item 6
Posicion
6
Opções
Ângulo entre vetores
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Geometria
Pontuação máxima
14
Atividade
Considere A=(1,0,2), B=(3,1,2) e C=(2,2,4). Determine a amplitude do ângulo BAC, em graus, arredondada às décimas.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
53,4°.
Pasos
AB=(2,1,0) e AC=(1,2,2).
AB·AC=4, ||AB||=√5 e ||AC||=3, logo cos θ=4/(3√5).
θ=arccos[4/(3√5)]≈53,3957°, pelo que θ≈53,4°.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Obtém os dois vetores com origem em A.
Pontos
6
Descripcion
Calcula produto escalar e normas e estabelece o quociente correto.
Pontos
4
Descripcion
Calcula o ângulo em graus e arredonda às décimas.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Usar BC no lugar de AC ou manter a calculadora em radianos.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
6
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 7
Posicion
7
Opções
Quociente complexo
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Números complexos
Pontuação máxima
12
Atividade
Se z=(1+2i)/(2−i), qual é a forma algébrica de z?
Partes
Pontos
12
Atividade
Selecione uma única opção.
Tipo respuesta
eleccion-unica
Soluções e critérios
Soluções e critérios
D: i
Pasos
Multiplica-se numerador e denominador por 2+i.
(1+2i)(2+i)=5i e (2−i)(2+i)=5.
Assim, z=i.
Soluções e critérios
Pontos
12
Descripcion
Seleciona apenas a opção D. Qualquer outra seleção, seleção múltipla ou omissão: zero pontos.
Soluções e critérios
Uma única seleção, coincidente com a chave; não se exige justificação na resposta do aluno.
Opções
Texto
1+i
Texto
−i
Texto
1
Texto
i
Soluções e critérios
D
Explicacion distractores
A
Ignora os produtos cruzados e o termo i².
B
Troca o sinal no numerador ao usar o conjugado.
C
Cancela termos de uma soma como se fossem fatores.
Soluções e critérios
Ignora os produtos cruzados e o termo i². / Troca o sinal no numerador ao usar o conjugado. / Cancela termos de uma soma como se fossem fatores.
Soluções e critérios
clave-estructurada
Posicion
7
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
12
Item 8
Posicion
8
Opções
Equação logarítmica
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
Resolva ln(x−1)+ln(x+1)=ln(8), em R, sem recorrer à calculadora.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
x=3.
Pasos
Os dois argumentos têm de ser positivos, impondo x>1.
ln[(x−1)(x+1)]=ln 8 implica x²−1=8, logo x=±3.
Só x=3 pertence ao domínio; verifica ln2+ln4=ln8.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Impõe x>1.
Pontos
6
Descripcion
Usa a propriedade do logaritmo e obtém os dois candidatos.
Pontos
4
Descripcion
Exclui −3 e apresenta a solução 3.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Aceitar −3 embora os logaritmos reais não estejam definidos.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
8
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 9
Posicion
9
Opções
Equação trigonométrica
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
Resolva 2 cos²x−3 cos x+1=0 em [0,2π], sem recorrer à calculadora.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
{0, π/3, 5π/3, 2π}.
Pasos
Com u=cos x, 2u²−3u+1=(2u−1)(u−1)=0.
cos x=1 dá 0 e 2π; cos x=1/2 dá π/3 e 5π/3 no intervalo indicado.
Todos os quatro valores pertencem a [0,2π] e satisfazem a equação.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Fatora a equação em cos x.
Pontos
6
Descripcion
Resolve ambas as equações trigonométricas no intervalo.
Pontos
4
Descripcion
Apresenta o conjunto completo, incluindo os extremos.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Perder 2π por confundir o intervalo fechado com [0,2π[.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
9
Obligatorio
True
Referencial
AE2018
Bissecção
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
A equação x³−x−1=0 tem uma única raiz em [1,2]. Aplique o método da bissecção até obter um intervalo de amplitude inferior a 0,05. Apresente o intervalo e use o seu ponto médio como aproximação. Conserve os valores exatos dos pontos médios nos cálculos.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
Intervalo [1,3125; 1,34375]; aproximação 1,328125; erro ≤0,015625.
Pasos
Para g(x)=x³−x−1, g(1)=−1 e g(2)=5. A continuidade e g′=3x²−1>0 em [1,2] garantem existência e unicidade.
Os pontos médios sucessivos são 1,5 (+), 1,25 (−), 1,375 (+), 1,3125 (−), 1,34375 (+), onde o sinal é o de g.
Os intervalos ficam [1;1,5], [1,25;1,5], [1,25;1,375], [1,3125;1,375], [1,3125;1,34375]. A última amplitude é 0,03125<0,05.
O ponto médio final é 1,328125 e a distância à raiz é, no máximo, metade da amplitude: 0,015625.
Soluções e critérios
Pontos
2
Descripcion
Inicia com os sinais nos extremos.
Pontos
6
Descripcion
Regista pontos médios e atualiza os intervalos pelos sinais.
Pontos
3
Descripcion
Obtém um intervalo com amplitude inferior a 0,05.
Pontos
3
Descripcion
Apresenta o ponto médio e a estimativa do erro.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Escolher sempre a metade direita, sem verificar o sinal.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
9
Obligatorio
True
Referencial
AE2023
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 10
Posicion
10
Opções
Tangente à curva
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
Seja f(x)=x e^(−x), de domínio R. Determine, sem calculadora, a equação da tangente ao gráfico no ponto de abcissa 2.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
y=e^(−2)(4−x).
Pasos
Pela regra do produto, f′(x)=e^(−x)(1−x).
f(2)=2e^(−2) e f′(2)=−e^(−2).
A tangente é y−2e^(−2)=−e^(−2)(x−2), equivalente a y=e^(−2)(4−x).
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Deriva corretamente o produto.
Pontos
6
Descripcion
Calcula ordenada e declive no ponto.
Pontos
4
Descripcion
Escreve e simplifica a equação da tangente.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Usar f(2) como declive em vez de f′(2).
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
10
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 11
Posicion
11
Opções
Máximo num domínio fechado
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
Num modelo de produção, o lucro diário, em centenas de euros, é L(x)=−x³+12x²−36x+40, com 0≤x≤8. Determine o lucro máximo e todos os valores de x que o permitem, justificando que é um máximo absoluto.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
Lucro máximo de 4000 euros, atingido em x=0 e x=6.
Pasos
L′(x)=−3(x−2)(x−6), que se anula em 2 e 6.
Os candidatos no intervalo fechado são 0,2,6,8. Obtém-se L(0)=40, L(2)=8, L(6)=40 e L(8)=8.
O maior valor é 40, atingido em x=0 e x=6. Portanto, ambos permitem lucro máximo de 4000 euros.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Deriva e encontra os pontos estacionários.
Pontos
6
Descripcion
Compara os valores em 0,2,6,8.
Pontos
4
Descripcion
Identifica todos os maximizantes e o lucro máximo em euros.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Considerar apenas o máximo relativo em 6 e esquecer o extremo x=0.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
11
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 12
Posicion
12
Opções
Condicionamento numa tabela
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Probabilidades
Pontuação máxima
14
Atividade
Entre 180 participantes de um curso, 108 escolheram a oficina A. Dos participantes de A, 27 entregaram o projeto; entre os outros 72, entregaram-no 18. Escolhe-se um participante ao acaso. Determine P(A | entregou) e averigue se escolher A e entregar o projeto são acontecimentos independentes.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
P(A | entregou)=3/5; os acontecimentos são independentes.
Pasos
Entregaram 27+18=45 participantes, dos quais 27 pertencem a A: P(A|E)=27/45=3/5.
P(A)=108/180=3/5 e P(E)=45/180=1/4.
P(A∩E)=27/180=3/20=(3/5)(1/4); portanto, há independência.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Fixa o universo condicionado e calcula 27/45.
Pontos
6
Descripcion
Calcula as probabilidades marginal e conjunta adequadas.
Pontos
4
Descripcion
Compara produto e interseção e conclui independência.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Dividir 27 por 108 ao pedir P(A|E), ou inferir causalidade da tabela.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
12
Obligatorio
True
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
True
Pontos
14
Item 13
Posicion
13
Opções
Coeficiente binomial
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Cálculo Combinatório
Pontuação máxima
14
Atividade
Sem recorrer à calculadora, determine o coeficiente de x³ no desenvolvimento de (2+x)^6.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
160.
Pasos
No binómio de Newton, o termo com x³ é C(6,3)·2^(6−3)·x³.
C(6,3)=6×5×4/(3×2×1)=20 e 2³=8.
O coeficiente pedido é 20×8=160.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Identifica o termo que contém x³.
Pontos
6
Descripcion
Calcula o coeficiente binomial e a potência de 2.
Pontos
4
Descripcion
Obtém 160, distinguindo coeficiente e termo.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Esquecer o fator 2³ ou dar o termo 160x³ em vez do coeficiente.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
13
Obligatorio
False
Referencial
AE2018
Eleição por preferências
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Modelos matemáticos nas eleições
Pontuação máxima
14
Atividade
Uma turma escolhe entre projetos A, B e C. Os boletins apresentam estas preferências, da primeira à terceira: 9 votos A>B>C; 7 votos B>C>A; 4 votos C>B>A. Atribuem-se 3, 2 e 1 pontos à primeira, segunda e terceira preferências. Determine o projeto vencedor e explique por que não coincide com o vencedor por maioria simples das primeiras preferências.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
B vence por pontos (47); A venceria por maioria simples com 9 primeiras preferências.
Pasos
A recebe 9×3+7×1+4×1=38; B recebe 9×2+7×3+4×2=47; C recebe 9×1+7×2+4×3=35.
B tem a maior pontuação, logo é o vencedor pelo método indicado.
Nas primeiras preferências, A tem 9, B tem 7 e C tem 4. A vence por maioria simples; o método de pontos também considera as preferências seguintes.
Soluções e critérios
Pontos
6
Descripcion
Calcula corretamente as três pontuações.
Pontos
4
Descripcion
Identifica B como vencedor por pontos.
Pontos
4
Descripcion
Compara as primeiras preferências e explica a divergência.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Confundir maioria simples com maioria absoluta: 9 de 20 não excede metade.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
13
Obligatorio
False
Referencial
AE2023
Elegir
1
Obligatorio
False
Pontos
14
Item 14
Posicion
14
Opções
Círculo e parâmetro
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Geometria
Pontuação máxima
14
Atividade
Para a>0, sejam A=(−√a,a), B=(√a,a) e O=(0,0). Determine, em função de a, o raio da circunferência que passa pelos três pontos.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
R=(a+1)/2.
Pasos
Os pontos A e B têm a mesma ordenada e são simétricos; a mediatriz de AB é x=0. O centro é C=(0,c).
Igualar CO² e CA² dá c²=a+(a−c)², logo 2ac=a+a² e c=(a+1)/2.
Como a>0, c>0 e R=CO=c=(a+1)/2. A área do triângulo OAB é a√a>0, pelo que os pontos não são colineares.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Situa o centro na mediatriz.
Pontos
6
Descripcion
Usa igualdade de distâncias para determinar c.
Pontos
4
Descripcion
Identifica o raio e justifica a validade para a>0.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Usar metade de AB como raio embora O não pertença necessariamente a esse círculo.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
14
Obligatorio
False
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
False
Pontos
14
Item 15
Posicion
15
Opções
Limiar exponencial
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
A concentração de uma substância é C(t)=80e^(−0,12t), em mg/L, para t≥0 minutos. Determine o primeiro instante em que C(t)≤15 mg/L. Apresente a expressão exata e uma aproximação às centésimas do minuto.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
t=ln(16/3)/0,12≈13,95 minutos.
Pasos
80e^(−0,12t)≤15 equivale a e^(−0,12t)≤3/16.
Aplicando ln e dividindo por −0,12, inverte-se a desigualdade: t≥ln(16/3)/0,12.
A concentração é estritamente decrescente, logo o primeiro instante é o da igualdade: aproximadamente 13,9498036 minutos, isto é, 13,95.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Isola a exponencial e aplica o logaritmo.
Pontos
6
Descripcion
Resolve a desigualdade com sentido correto e obtém o limiar exato.
Pontos
4
Descripcion
Justifica o primeiro instante e arredonda às centésimas.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Não inverter a desigualdade ao dividir por um número negativo.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
15
Obligatorio
False
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
False
Pontos
14
Item 16
Posicion
16
Opções
Amostra sem reposição
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Probabilidades
Pontuação máxima
14
Atividade
Um lote tem 5 componentes certificados e 3 não certificados, todos identificáveis. Escolhem-se 3 componentes ao acaso, sem reposição, sendo equiprováveis todos os subconjuntos de 3. Determine a probabilidade de obter exatamente 2 certificados, como fração irredutível.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
15/28.
Pasos
Há C(8,3)=56 amostras possíveis.
Para exatamente 2 certificados, escolhem-se 2 dos 5 certificados e 1 dos 3 restantes: C(5,2)C(3,1)=30 casos favoráveis.
A probabilidade é 30/56=15/28.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Conta as amostras possíveis sem ordem.
Pontos
6
Descripcion
Conta os casos favoráveis com as duas escolhas.
Pontos
4
Descripcion
Divide e reduz a fração.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Aplicar uma binomial com probabilidade constante a extrações sem reposição.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
16
Obligatorio
False
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
False
Pontos
14
Item 17
Posicion
17
Opções
Raízes cúbicas complexas
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Números complexos
Pontuação máxima
14
Atividade
Resolva z³=−8i em C, sem calculadora. Apresente todas as raízes na forma algébrica.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
{√3−i, 2i, −√3−i}.
Pasos
Escreve-se −8i=8e^(i3π/2). Cada raiz tem módulo 2.
Os argumentos são (3π/2+2kπ)/3=π/2+2kπ/3, k=0,1,2.
Os argumentos π/2,7π/6,11π/6 dão 2i,−√3−i,√3−i. São três raízes distintas.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Escreve módulo e argumento do número dado.
Pontos
6
Descripcion
Determina os três argumentos das raízes.
Pontos
4
Descripcion
Converte as três raízes para forma algébrica.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Dividir o módulo por 3 ou apresentar só a raiz de argumento π/2.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
17
Obligatorio
False
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
False
Pontos
14
Item 18
Posicion
18
Opções
Zeros da derivada e inflexão
Prueba
Exame Nacional de Matemática A
Convocatoria
2026
Curso
12-ano
Materia
matematica-a
Caracter
original-editorial
Bloque
Funções
Pontuação máxima
14
Atividade
Seja f(x)=x^4−4x³, de domínio R. Justifique que o ponto de abcissa 0 é um ponto de inflexão, mas não um extremo relativo.
Partes
Pontos
14
Atividade
Apresente os cálculos e as justificações pedidos.
Tipo respuesta
desarrollo
Soluções e critérios
Soluções e critérios
Em x=0 há inflexão e não há extremo relativo.
Pasos
f′(x)=4x²(x−3) é negativa tanto em ]−∞,0[ como em ]0,3[. Não muda de sinal em 0, logo não há extremo aí.
f″(x)=12x(x−2) é positiva para x<0 e negativa para 0<x<2.
A concavidade muda em 0 e f(0)=0; portanto, (0,0) é um ponto de inflexão com tangente horizontal.
Soluções e critérios
Pontos
4
Descripcion
Calcula f′ e interpreta os sinais dos dois lados de 0.
Pontos
6
Descripcion
Calcula f″ e demonstra a mudança de concavidade.
Pontos
4
Descripcion
Conclui corretamente as duas afirmações.
Soluções e critérios
Aceitam-se métodos válidos no âmbito curricular e expressões exatas equivalentes. Nos itens de desenvolvimento, o resultado isolado não recebe pontuação. Pontue cada etapa demonstrada; um erro ocasional de cálculo retira um ponto na etapa em que ocorre, sem repetir a penalização nas etapas seguintes coerentes e de dificuldade igual. Uma etapa sem cálculo ou justificação recebe zero. Não atribua crédito a conclusões sem fundamento. A cotação do item nunca é negativa.
Soluções e critérios
Afirmar que todo zero de f′ é um extremo, ou que f″(0)=0 basta para inflexão.
Soluções e critérios
rubrica-manual
Posicion
18
Obligatorio
False
Referencial
comum
Elegir
1
Obligatorio
False
Pontos
14
Seleccion puntuacion
Obligatorios
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Facultativos
13
14
15
16
17
18
Mejores facultativos
3
Subtotal obligatorio
158
Subtotal facultativo
42
Sin respuesta
0
Formulario
Formulário de apoio editorial
Geometria
Arco: L=rα; setor: A=r²α/2 (α em radianos).
Polígono regular: A=(perímetro×apótema)/2.
Cone: A_lateral=πrg; V=πr²h/3. Pirâmide: V=A_base h/3.
Esfera: A=4πr²; V=4πr³/3.
Progressoes
Aritmética: Sₙ=n(u₁+uₙ)/2.
Geométrica: Sₙ=u₁(1−rⁿ)/(1−r), r≠1.
Trigonometria
sen(a+b)=sen a cos b+cos a sen b.
cos(a+b)=cos a cos b−sen a sen b.
Complexos
(ρe^(iθ))ⁿ=ρⁿe^(inθ).
Raízes de zⁿ=ρe^(iθ): ρ^(1/n)e^(i(θ+2kπ)/n), k=0,…,n−1.
Derivadas
(u+v)′=u′+v′; (uv)′=u′v+uv′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v².
(uⁿ)′=nu^(n−1)u′; (sen u)′=u′cos u; (cos u)′=−u′sen u.
(tg u)′=u′/cos²u; (ln u)′=u′/u; (log_a u)′=u′/(u ln a).
(e^u)′=u′e^u; (a^u)′=u′a^u ln a.
Limites
lim(x→0) sen x/x=1; lim(x→0)(e^x−1)/x=1.
lim(x→0) ln(1+x)/x=1; lim(n→∞)(1+1/n)ⁿ=e.
lim(x→+∞) ln x/x=0; lim(x→+∞) x^p/e^x=0 para p>0.