1ª série · Ensino Médio diurno · Espírito SantoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Interpretar concavidade, simetria e valores de uma função quadrática.
- Comparar extremos teóricos com o domínio do problema.
Antes de começar
- Funções e equações quadráticas
Entenda a relação
Uma função quadrática f(x)=ax²+bx+c, com a≠0, tem gráfico parabólico. Coeficiente a positivo produz concavidade para cima e a negativo, para baixo. O termo c é o corte vertical, pois a entrada zero anula os termos com x. Em y=ax², entradas opostas têm imagens iguais e dobrar x quadruplica a imagem.
O vértice marca a entrada xᵥ=−b/(2a) e a imagem yᵥ=f(xᵥ). Com concavidade para cima há mínimo global; para baixo, máximo global. A entrada do vértice e a imagem extrema são grandezas distintas. O eixo x=xᵥ é vertical; pontos à mesma distância desse eixo têm a mesma altura no gráfico.
Um domínio contextual pode excluir o vértice. Em um intervalo fechado, compare os candidatos admitidos: vértice, se estiver dentro, e as duas pontas quando necessário. Se o domínio admite todos os inteiros de um intervalo e o vértice fica entre inteiros, compare os vizinhos que pertencem ao domínio, além das pontas quando necessário. Num conjunto esparso de inteiros, use os candidatos realmente disponíveis; os vizinhos usuais podem não existir. Uma quantidade fracionária ótima no modelo contínuo pode não ser uma quantidade admissível de objetos.
- Vértice
- Ponto da parábola que determina seu eixo de simetria e o valor extremo global.
Como organizar a resolução
- Determine concavidade e abscissa do vértice.
- Calcule a imagem no vértice.
- Compare os candidatos com o domínio e confira os valores admissíveis.
Um caso resolvido
Compare o mínimo de f(x)=(x−4)²+3 nos reais e no intervalo 0≤x≤2.
- Nos reais, o quadrado zera em x=4 e a imagem mínima é 3.
- O intervalo exclui quatro; nele a função decresce até a entrada dois.
- Em dois, a imagem é 4+3=7.
Mínimo global 3; mínimo no intervalo 7.
Confira antes de concluir
O mínimo restrito é três porque a parábola tem vértice em (4,3).
No intervalo dado, o mínimo é sete em x=2.
O vértice global não pertence ao conjunto de entradas permitidas.
- Concavidade define máximo ou mínimo global.
- O domínio decide quais pontos podem resolver o contexto.
Verifica agora
Qual abscissa do vértice de f(x)=x²−12x+4?
Ver solução explicada
Resposta: 6
Menos b sobre duas vezes a produz doze sobre dois.
f(x)=−(x−2)²+13 é usada no intervalo fechado [3,5]. Qual imagem máxima no intervalo?
Ver solução explicada
Resposta: 12
Vérticex=2 excluído. Para x≥3 a imagem decresce; f(3)=12, maior que f(5)=4.
Em 0≤x≤1, qual valor mínimo de f(x)=(x−5)²+2?
Ver solução explicada
Resposta: 18
O vértice está fora; a menor imagem ocorre em um e vale dezesseis mais dois.
Se q é inteiro entre zero e seis, qual maior valor de −q²+5q?
Ver solução explicada
Resposta: 6
Os candidatos dois e três dão seis; as pontas e outros inteiros dão menos.
Alinhamento curricular e fontes
- 1ª série, rede estadual do Espírito Santo, diurno, FGB, 2026. Recorte editorial das habilidades indicadas no mapa H 211. · Orientações Curriculares 2026 — Matemática — Ensino Médio Diurno — 2º trimestre
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Praticar isto: Reconhecer e representar funções quadráticasPraticar isto: Interpretar vértice e extremos de parábolasFunções por partes e cobranças por faixa