Um teste de divisibilidade basta?

6º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Distinguir condição necessária de teste suficiente e construir registros que discriminem dois testes.
Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5 e 10.
Distinguir múltiplo de divisor.

O que precisamos distinguir

Um critério de divisibilidade decide se a divisão é exata; ele não informa sozinho quantos grupos serão formados. Para usar grupos de seis, a quantidade precisa ser divisível por dois e por três. Conferir somente uma dessas condições deixa passar quantidades inadequadas. Procure um caso que passe no teste incompleto e falhe na divisão.

Dois testes podem coincidir em muitos exemplos sem serem equivalentes. Ser múltiplo de quatro garante ser par, mas ser par não garante ser múltiplo de quatro. Para verificar a equivalência, investigue os dois sentidos. Para negar uma afirmação geral, basta um exemplo que cumpra a hipótese e viole a conclusão. Para aceitá-la como regra, uma lista curta de acertos não basta.

Ao combinar restrições, faça uma lista de candidatos que satisfaçam o primeiro teste e elimine os que falham no seguinte. Se a quantidade de grupos também precisa ser divisível por um número, essa é uma condição sobre o quociente, não sobre o resto da primeira divisão. Registre quantidade, tamanho do grupo e número de grupos em colunas diferentes.

Contraexemplo: Caso que satisfaz a condição inicial de uma afirmação, mas não a conclusão anunciada.

Escolher e conferir

Separe condições sobre a quantidade e sobre o número de grupos.
Liste candidatos no intervalo permitido.
Aplique todos os testes, incluindo os feitos depois de dividir.
Confira sobreviventes por multiplicação e procure um contraexemplo para testes incompletos.

Um caso resolvido

Uma escola tem entre 50 e 70 cartões, incluindo os limites. Serão feitos pacotes com seis cartões, sem sobra; o número de pacotes também deve ser múltiplo de três. Quais quantidades servem? Um aluno testou apenas se o total era par. Mostre um total par do intervalo que revele o limite desse teste.

Múltiplos de seis no intervalo: 54, 60 e 66.
Eles dão nove, dez e onze pacotes; só nove é múltiplo de três.
Serve 54.
Por exemplo 52 é par, mas não forma pacotes completos de seis.

Múltiplos de seis no intervalo: 54, 60 e 66. Eles dão nove, dez e onze pacotes; só nove é múltiplo de três. Serve 54. Por exemplo 52 é par, mas não forma pacotes completos de seis.

Registro do exemplo

Cartões	Pacotes de seis	Múltiplo de três pacotes?
54	9	Sim
60	10	Não
66	11	Não

Por que esse erro acontece

Tratar uma condição necessária como se resolvesse todas as restrições.

Testar também as condições que ainda faltam.

Um número par pode deixar resto ao ser dividido por seis.

Ser par é necessário para dividir por 6, mas não basta: um critério pode ser só uma condição.
Para negar uma regra geral basta um contraexemplo; para aceitá-la, uma lista de acertos não basta.
Condições sobre o número de grupos se testam no quociente, depois da divisão.

Confira com outro caso

Uma regra aceita um total se ele é divisível por quatro ou por seis. A tarefa exige que o total seja divisível pelos dois. Entre 20 e 30, limites incluídos, encontre todos os totais que a regra aceita indevidamente e o total aceito corretamente. Mostre os testes de cada um.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: A regra aceita 20, 24, 28 e 30. Aceita indevidamente 20 e 28, que não são divisíveis por seis, e 30, que não é divisível por quatro. Aceita corretamente 24. Os demais inteiros do intervalo não passam em nenhum teste.

Modelo de resposta: A regra aceita 20, 24, 28 e 30. Aceita indevidamente 20 e 28, que não são divisíveis por seis, e 30, que não é divisível por quatro. Aceita corretamente 24. Os demais inteiros do intervalo não passam em nenhum teste.

Critérios para revisar sua resposta:

Enumerar o conjunto aceito pela regra.
Separar a união dos testes da exigência simultânea.

A regra aceita 20, 24, 28 e 30. Aceita indevidamente 20 e 28, que não são divisíveis por seis, e 30, que não é divisível por quatro. Aceita corretamente 24. Os demais inteiros do intervalo não passam em nenhum teste.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Buscar múltiplos comuns dentro do intervalo e verificar os quocientes.
Distinguir o papel de divisor comum e de múltiplo comum na pergunta.

Resposta: Os totais precisam ser múltiplos comuns de seis e de oito, que avançam de 24 em 24: 24, 48, 72, 96, 120. No intervalo, só 96 serve: 16 grupos de seis ou 12 grupos de oito. O 2 divide 6 e 8, mas um total par não precisa ser divisível por 6 nem por 8: 82 é par, porém 82 = 6 × 13 + 4 e 82 = 8 × 10 + 2. A pergunta pede múltiplos comuns de 6 e 8, não divisores comuns.

Os totais precisam ser múltiplos comuns de seis e de oito, que avançam de 24 em 24: 24, 48, 72, 96, 120. No intervalo, só 96 serve: 16 grupos de seis ou 12 grupos de oito. O 2 divide 6 e 8, mas um total par não precisa ser divisível por 6 nem por 8: 82 é par, porém 82 = 6 × 13 + 4 e 82 = 8 × 10 + 2. A pergunta pede múltiplos comuns de 6 e 8, não divisores comuns.

Verifique agora

Em um código 3 d 2, d é um algarismo de 0 a 9. O número precisa ser divisível por três e por quatro. Encontre todos os valores de d e os números correspondentes. Mostre como o teste dos dois últimos algarismos e a soma dos algarismos se combinam.
Ver solução explicada
- Aplicar os dois critérios ao mesmo número.
- Encontrar todos e somente os algarismos válidos.
Resposta: Para divisibilidade por quatro, d 2 pode ser 12, 32, 52, 72 ou 92: d ímpar. Para três, 5+d deve ser múltiplo de três: d=1, 4, 7. A interseção dá d=1 ou 7, números 312 e 372.
Para divisibilidade por quatro, d 2 pode ser 12, 32, 52, 72 ou 92: d ímpar. Para três, 5+d deve ser múltiplo de três: d=1, 4, 7. A interseção dá d=1 ou 7, números 312 e 372.
Duas caixas contêm quantidades divisíveis por oito. Ao reunir os conteúdos, pode haver exatamente 100 peças? Decida sem supor as quantidades individuais e corrija a meta para o menor total maior que 100 que possa ser reunido. Dê uma divisão desse total em duas caixas não vazias, ambas com múltiplos de oito.
Ver solução explicada
- Usar uma propriedade de múltiplos para decidir a meta.
- Determinar o próximo total e construir uma decomposição válida.
Resposta: A soma de dois múltiplos de oito também é múltiplo de oito; 100 deixa resto quatro e não serve. O menor múltiplo acima é 104. Por exemplo 48 e 56 são múltiplos de oito e somam 104.
A soma de dois múltiplos de oito também é múltiplo de oito; 100 deixa resto quatro e não serve. O menor múltiplo acima é 104. Por exemplo 48 e 56 são múltiplos de oito e somam 104.
Uma quantidade deixa resto dois na divisão por cinco. Um aluno afirma que retirar sete peças produzirá um múltiplo de cinco. Outro afirma que acrescentar duas produzirá um múltiplo de cinco. Julgue as duas afirmações para qualquer quantidade inicial maior que sete com esse resto e verifique com um exemplo próprio.
Ver solução explicada
- Raciocinar com o resto sem depender só do exemplo.
- Verificar as duas propostas numa quantidade admissível.
Resposta: Retirar sete é retirar cinco mais duas; elimina o resto e preserva um múltiplo de cinco. Acrescentar duas deixa resto quatro, não zero. Exemplo: de 17, retirar sete dá 10; acrescentar duas dá 19. A explicação pelo resto cobre todas as quantidades indicadas, e o exemplo confere.
Retirar sete é retirar cinco mais duas; elimina o resto e preserva um múltiplo de cinco. Acrescentar duas deixa resto quatro, não zero. Exemplo: de 17, retirar sete dá 10; acrescentar duas dá 19. A explicação pelo resto cobre todas as quantidades indicadas, e o exemplo confere.
Um registro afirma haver de 80 a 100 peças, limites incluídos, que podem ser divididas sem sobra tanto em grupos de seis como em grupos de oito. Não exige número mínimo de grupos. Encontre todos os totais possíveis. Um colega calcula o máximo divisor comum de 6 e 8, obtém 2 e conclui que serve qualquer total par do intervalo; mostre com um total par por que essa conclusão está errada.
Ver solução explicada
- Buscar múltiplos comuns dentro do intervalo e verificar os quocientes.
- Distinguir o papel de divisor comum e de múltiplo comum na pergunta.
Resposta: Os totais precisam ser múltiplos comuns de seis e de oito, que avançam de 24 em 24: 24, 48, 72, 96, 120. No intervalo, só 96 serve: 16 grupos de seis ou 12 grupos de oito. O 2 divide 6 e 8, mas um total par não precisa ser divisível por 6 nem por 8: 82 é par, porém 82 = 6 × 13 + 4 e 82 = 8 × 10 + 2. A pergunta pede múltiplos comuns de 6 e 8, não divisores comuns.
Os totais precisam ser múltiplos comuns de seis e de oito, que avançam de 24 em 24: 24, 48, 72, 96, 120. No intervalo, só 96 serve: 16 grupos de seis ou 12 grupos de oito. O 2 divide 6 e 8, mas um total par não precisa ser divisível por 6 nem por 8: 82 é par, porém 82 = 6 × 13 + 4 e 82 = 8 × 10 + 2. A pergunta pede múltiplos comuns de 6 e 8, não divisores comuns.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 6º ano, EF06MA05 e EF06MA06 (p. 301). Recorte editorial: distinguir condição necessária de teste suficiente e construir registros que discriminem dois testes. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

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Praticar isto: Usar divisores para organizar quantidades