A fração compara qual inteiro?

6º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Reconstruir a referência comum e distinguir retirar elementos de reclassificá-los.
Construir ou corrigir uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Calcular a fração de uma quantidade, como 3/4 de 40.
Reconhecer e simplificar frações equivalentes.

O que precisamos distinguir

Uma fração só permite comparar quantidades quando sabemos qual inteiro ela usa. Três quartos de uma coleção pequena podem representar menos peças que metade de outra. Antes de ordenar as partes, escreva o total de cada coleção e calcule as quantidades na mesma unidade. A comparação das frações e a comparação das quantidades são perguntas diferentes.

O inteiro também pode mudar durante uma ação. Ao retirar peças, mudam a parte e o total restante. Ao apenas trocar a etiqueta de uma peça, o total fica igual. Registre o antes e o depois em duas linhas. Somar quantidades de grupos diferentes exige reunir também os totais; a soma das frações sozinha não descreve a coleção reunida.

Para construir um exemplo, escolha totais divisíveis pelos denominadores, conte as partes e confira a condição pedida. Se um registro informa uma parte sem dizer a referência, tente dois totais compatíveis. Encontrar duas respostas diferentes mostra por que falta um dado, sem inventar qual deles era o pretendido.

Inteiro de referência: Coleção ou medida completa à qual a fração se refere naquele momento.

Escolher e conferir

Identifique a coleção correspondente a cada denominador.
Converta as partes em quantidades antes de reuni-las ou alterá-las.
Atualize o total somente quando entrarem ou saírem elementos.
Reconstrua a fração final e confira a pergunta original.

Um caso resolvido

A caixa A tem 40 fichas, das quais 3/4 são verdes. B tem 70 fichas, metade verde. Uma pessoa afirma que A tem mais verdes porque 3/4 supera 1/2. Compare as quantidades e determine a fração verde quando as caixas são reunidas, sem perdas. Use contagens inteiras e fração exata.

A tem 30 verdes e B tem 35.
B tem cinco verdes a mais, embora sua fração seja menor.
Reunidas, são 65 verdes em 110 fichas: 65/110 = 13/22.
Somar 3/4 e 1/2 usaria inteiros diferentes como se fossem o mesmo.

A tem 30 verdes e B tem 35. B tem cinco verdes a mais, embora sua fração seja menor. Reunidas, são 65 verdes em 110 fichas: 65/110 = 13/22. Somar 3/4 e 1/2 usaria inteiros diferentes como se fossem o mesmo.

Registro do exemplo

Caixa	Total de fichas	Fichas verdes
A	40	30
B	70	35
União	110	65

Por que esse erro acontece

Somar as frações das caixas para obter a fração da união.

Somar as contagens verdes e os totais das caixas.

Cada fração usa uma coleção própria; as partes precisam da mesma referência.

Uma fração só compara quantidades quando se sabe qual inteiro ela usa: 3/4 de 40 fichas são menos fichas que 1/2 de 70.
Retirar elementos muda a parte e o total; trocar a etiqueta muda só a parte.
Para reunir coleções, some as partes e os totais, nunca as frações.

Confira com outro caso

Um saco contém 24 fichas, 10 delas vermelhas. Um estudante retira quatro fichas vermelhas e registra a nova fração vermelha como 6/24. Corrija o registro. Depois, partindo de novo do saco original e sem retirar nem acrescentar fichas, investigue se é possível obter exatamente essa fração corrigida apenas trocando a cor de algumas fichas vermelhas. Se for possível, diga quantas; se não for, justifique. Use frações exatas.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: Após retirar, restam 6 vermelhas entre 20 fichas: 6/20 = 3/10, e não 6/24. Só trocar cores mantém o total de 24 fichas. Para que 3/10 delas fossem vermelhas, seriam necessárias 24 × 3/10 = 7,2 vermelhas, impossível com fichas inteiras; nenhuma troca de cor produz exatamente essa fração.

Modelo de resposta: Após retirar, restam 6 vermelhas entre 20 fichas: 6/20 = 3/10, e não 6/24. Só trocar cores mantém o total de 24 fichas. Para que 3/10 delas fossem vermelhas, seriam necessárias 24 × 3/10 = 7,2 vermelhas, impossível com fichas inteiras; nenhuma troca de cor produz exatamente essa fração.

Critérios para revisar sua resposta:

Atualizar parte e total na retirada.
Verificar a possibilidade de reproduzir a fração com total fixo e peças inteiras.

Após retirar, restam 6 vermelhas entre 20 fichas: 6/20 = 3/10, e não 6/24. Só trocar cores mantém o total de 24 fichas. Para que 3/10 delas fossem vermelhas, seriam necessárias 24 × 3/10 = 7,2 vermelhas, impossível com fichas inteiras; nenhuma troca de cor produz exatamente essa fração.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Corrigir a referência da união.
Investigar e justificar a impossibilidade da segunda solicitação pelas frações equivalentes.

Resposta: Há 12 + 5 = 17 mangas entre 40 frutas: 17/40. Para terem a mesma fração, as duas bandejas teriam de ter fração 17/40. Como 17 e 40 não têm divisor comum maior que 1, uma bandeja não vazia com contagens inteiras e essa fração precisa de pelo menos 40 frutas. Não é possível dividir as 40 em duas bandejas não vazias com a mesma fração.

Há 12 + 5 = 17 mangas entre 40 frutas: 17/40. Para terem a mesma fração, as duas bandejas teriam de ter fração 17/40. Como 17 e 40 não têm divisor comum maior que 1, uma bandeja não vazia com contagens inteiras e essa fração precisa de pelo menos 40 frutas. Não é possível dividir as 40 em duas bandejas não vazias com a mesma fração.

Verifique agora

Um relatório diz: “12 livros são 2/5 do acervo consultado”. Depois acrescenta que esses mesmos 12 livros são 1/3 do acervo completo. Reconstrua os dois acervos e a quantidade que não foi consultada. Avalie se os registros se contradizem.
Ver solução explicada
- Reconstruir os dois totais e a diferença.
- Distinguir as duas referências.
Resposta: O consultado tem 12 ÷ 2 × 5 = 30 livros; o completo tem 12 × 3 = 36. Se os consultados pertencem ao completo, seis não foram consultados. Não há contradição: as frações usam acervos diferentes.
O consultado tem 12 ÷ 2 × 5 = 30 livros; o completo tem 12 × 3 = 36. Se os consultados pertencem ao completo, seis não foram consultados. Não há contradição: as frações usam acervos diferentes.
Crie duas coleções com totais inteiros menores que 50: em A, 2/3 das peças são brancas; em B, 3/4 são brancas. Faça A ter mais peças brancas que B. Informe totais e contagens e verifique todas as condições.
Ver solução explicada
- Usar totais positivos menores que 50 com partes inteiras.
- Produzir a inversão entre ordem das frações e ordem das contagens.
Resposta: Uma possibilidade: A tem 36 peças e 24 brancas; B tem 24 e 18 brancas. As partes correspondem às frações, ambos os totais são menores que 50 e 24 > 18. Outras construções que satisfaçam tudo são válidas.
Uma possibilidade: A tem 36 peças e 24 brancas; B tem 24 e 18 brancas. As partes correspondem às frações, ambos os totais são menores que 50 e 24 > 18. Outras construções que satisfaçam tudo são válidas.
Há 18 cartões, seis marcados. A instrução permite mudar a marca de cartões, sem retirar nem acrescentar nenhum. Um colega propõe apagar duas marcas para que a fração marcada passe a 1/4. Decida se existe algum plano exato permitido e proponha uma mudança no total que tornaria possíveis quatro cartões marcados como 1/4.
Ver solução explicada
- Testar a proposta e a integridade da parte pretendida.
- Apresentar um total e uma ação coerentes para quatro marcados.
Resposta: Apagar duas deixa 4/18 = 2/9, não 1/4. Um quarto de 18 é 4,5, portanto nenhum plano só de marcas funciona. Se o total passar a 16 com quatro marcados, 4/16 = 1/4; pode-se retirar dois não marcados depois de apagar as duas marcas.
Apagar duas deixa 4/18 = 2/9, não 1/4. Um quarto de 18 é 4,5, portanto nenhum plano só de marcas funciona. Se o total passar a 16 com quatro marcados, 4/16 = 1/4; pode-se retirar dois não marcados depois de apagar as duas marcas.
Duas bandejas têm 20 frutas cada. Na primeira, 3/5 são mangas; na segunda, 1/4 são mangas. Um registro da união informa 17/20 de mangas. Corrija a fração e investigue se existe outra divisão das mesmas 40 frutas entre duas bandejas que conserve as 17 mangas, mas tenha frações de manga iguais nas duas bandejas. As bandejas podem ter totais diferentes e devem ficar não vazias.
Ver solução explicada
- Corrigir a referência da união.
- Investigar e justificar a impossibilidade da segunda solicitação pelas frações equivalentes.
Resposta: Há 12 + 5 = 17 mangas entre 40 frutas: 17/40. Para terem a mesma fração, as duas bandejas teriam de ter fração 17/40. Como 17 e 40 não têm divisor comum maior que 1, uma bandeja não vazia com contagens inteiras e essa fração precisa de pelo menos 40 frutas. Não é possível dividir as 40 em duas bandejas não vazias com a mesma fração.
Há 12 + 5 = 17 mangas entre 40 frutas: 17/40. Para terem a mesma fração, as duas bandejas teriam de ter fração 17/40. Como 17 e 40 não têm divisor comum maior que 1, uma bandeja não vazia com contagens inteiras e essa fração precisa de pelo menos 40 frutas. Não é possível dividir as 40 em duas bandejas não vazias com a mesma fração.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 6º ano, EF06MA07, EF06MA09 e EF06MA10 (p. 301). Recorte editorial: reconstruir a referência comum e distinguir retirar elementos de reclassificá-los. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

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Praticar isto: Comparar e usar frações