Que transformação conserva as soluções?

7º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Construir e comparar equações a partir de soluções e distinguir uma verificação pontual de equivalência.
Construir ou corrigir uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Resolver equações de primeiro grau com uma incógnita.
Aplicar a propriedade distributiva.

O que precisamos distinguir

Resolver uma equação procura os valores que tornam seus dois membros iguais. Uma transformação equivalente conserva exatamente esse conjunto. Somar a mesma quantidade aos dois membros ou dividir ambos por um número conhecido diferente de zero permite voltar ao passo anterior. Operar só em parte de um membro pode alterar o conjunto procurado.

Uma conta pode acertar uma solução por coincidência e ainda usar um passo inválido. Confira a estrutura da operação e depois substitua o resultado na equação original. Um único valor comum também não torna duas expressões iguais para todos os valores; compare o que cada equação exige.

O domínio do contexto é uma condição adicional: uma equação pode dar um número racional que não represente uma quantidade inteira de objetos. Nesse caso, o cálculo pode estar certo e o plano não ser executável. Para corrigir o plano, diga qual dado pode mudar e qual deve permanecer; não arredonde a solução sem voltar a conferir a igualdade.

Equações equivalentes: Equações com o mesmo conjunto de soluções no domínio considerado.

Escolher e conferir

Escreva os dois membros completos e o domínio da incógnita.
Verifique se o passo proposto pode ser desfeito sem perder condições.
Resolva e substitua na igualdade original.
Aplique as condições materiais depois do cálculo; corrija o dado autorizado se necessário.

Um caso resolvido

Uma resolução transforma 3(x−2)+4=19 em 3x−2=19. Outra usa 3x−6+4=19. Compare os primeiros passos, resolva a equação original e confira o valor.

O primeiro passo também é correto: 3(x−2)+4=3x−6+4=3x−2.
O segundo apenas explicita a distributiva.
Ambos levam a 3x=21, x=7.
Na original, 3×5+4=19.
A aparência do termo −2 não prova erro; é preciso reconstruir a conta completa.

O primeiro passo também é correto: 3(x−2)+4=3x−6+4=3x−2. O segundo apenas explicita a distributiva. Ambos levam a 3x=21, x=7. Na original, 3×5+4=19. A aparência do termo −2 não prova erro; é preciso reconstruir a conta completa.

Registro do exemplo

Forma	Operação explícita	Solução
3(x−2)+4=19	3x−6+4=19	x=7
3x−2=19	3x=21	x=7

Por que esse erro acontece

Condenar um termo isolado sem ler o membro inteiro.

Recompor a distributiva e as somas antes de julgar.

Operações intermediárias podem já ter sido simplificadas corretamente.

Uma transformação equivalente aplica a mesma operação aos dois membros inteiros, sem dividir por zero.
Um valor que verifica a igualdade não prova que duas expressões são iguais para todo x.
O contexto pode exigir solução inteira: um cálculo certo pode não dar um plano executável.

Confira com outro caso

Uma conta passa de 4(x−3)+2=30 para x−3+2=30/4 e conclui x=8,5. Localize a alteração que quebrou a igualdade, resolva a equação original e confira. Construa também uma equação diferente da original, com 4(x−3)+2 no membro esquerdo, que tenha 8,5 como solução.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: Dividir por quatro exige dividir os dois membros inteiros; a conta deixou o termo 2 sem dividir. Pelo caminho direto: 4(x−3)=28, x−3=7, x=10. Conferência: 4×7+2=30. Para 8,5 ser solução com o mesmo membro esquerdo, o direito precisa valer 4×(8,5−3)+2=24: a nova equação é 4(x−3)+2=24.

Modelo de resposta: Dividir por quatro exige dividir os dois membros inteiros; a conta deixou o termo 2 sem dividir. Pelo caminho direto: 4(x−3)=28, x−3=7, x=10. Conferência: 4×7+2=30. Para 8,5 ser solução com o mesmo membro esquerdo, o direito precisa valer 4×(8,5−3)+2=24: a nova equação é 4(x−3)+2=24.

Critérios para revisar sua resposta:

Localizar o termo que não foi dividido, resolver a original e verificar x=10.
Construir e verificar a nova equação pedida.

Dividir por quatro exige dividir os dois membros inteiros; a conta deixou o termo 2 sem dividir. Pelo caminho direto: 4(x−3)=28, x−3=7, x=10. Conferência: 4×7+2=30. Para 8,5 ser solução com o mesmo membro esquerdo, o direito precisa valer 4×(8,5−3)+2=24: a nova equação é 4(x−3)+2=24.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Dar um valor discriminante e avaliar as duas expressões.
Resolver a igualdade para estabelecer seu conjunto completo de soluções.

Resposta: Por exemplo x=0 dá 3 e −1, refutando a identidade. Resolver 2x+3=3x−1 dá x=4. Logo a igualdade é verdadeira somente para 4; o teste original verificou uma solução, não uma identidade.

Por exemplo x=0 dá 3 e −1, refutando a identidade. Resolver 2x+3=3x−1 dá x=4. Logo a igualdade é verdadeira somente para 4; o teste original verificou uma solução, não uma identidade.

Verifique agora

Nove ingressos de um mesmo preço mais uma taxa fixa de R$ 7,00 custam R$ 88,00. Um colega escreve x=(88−7)/9. Outro escreve x=88/9−7. Determine os resultados como frações exatas e decida qual satisfaz a compra. Mostre a verificação pelo total.
Ver solução explicada
- Calcular exatamente as duas expressões.
- Rejeitar pelo total e explicar a distribuição correta.
Resposta: A primeira dá 81/9=9 reais. A segunda dá (88−63)/9=25/9 reais. Com 9 reais: 9×9+7=88. Com 25/9: 25+7=32, diferente de 88. A taxa deve ser retirada do total antes da divisão ou dividida também ao distribuir a divisão.
A primeira dá 81/9=9 reais. A segunda dá (88−63)/9=25/9 reais. Com 9 reais: 9×9+7=88. Com 25/9: 25+7=32, diferente de 88. A taxa deve ser retirada do total antes da divisão ou dividida também ao distribuir a divisão.
Crie duas equações diferentes de primeiro grau com solução x=−3. Na primeira use 2x no membro esquerdo; na segunda use um parêntese multiplicado por três. Verifique a solução nas duas e produza ainda uma equação de primeiro grau cuja solução seja 3, para mostrar que trocar o sinal muda o problema.
Ver solução explicada
- Respeitar os dois formatos e verificar −3.
- Construir e verificar um caso com solução de sinal oposto.
Resposta: Exemplos: 2x+8=2 e 3(x+5)=6 têm solução −3. Verificações: −6+8=2; 3×2=6. A equação 2x=6 tem solução 3. Outras construções de primeiro grau que atendam aos formatos e às soluções são válidas.
Exemplos: 2x+8=2 e 3(x+5)=6 têm solução −3. Verificações: −6+8=2; 3×2=6. A equação 2x=6 tem solução 3. Outras construções de primeiro grau que atendam aos formatos e às soluções são válidas.
Um plano exige exatamente R$ 50,00 em material: cada pacote fechado custa R$ 8,00 e a entrega R$ 6,00. O número de pacotes é inteiro não negativo. Resolva 8n+6=50 e decida se o plano existe. Altere só o total 50 para o menor total maior que 50 que torne a compra exata e dê o novo número de pacotes.
Ver solução explicada
- Resolver exatamente e aplicar a restrição inteira.
- Testar os inteiros vizinhos para garantir o menor total permitido.
Resposta: A equação dá n=44/8=11/2. Não representa pacotes inteiros. Seis pacotes custam 54 reais, o menor total acima de 50 no padrão 8n+6; cinco custam 46. O total corrigido é R$ 54,00, com seis pacotes.
A equação dá n=44/8=11/2. Não representa pacotes inteiros. Seis pacotes custam 54 reais, o menor total acima de 50 no padrão 8n+6; cinco custam 46. O total corrigido é R$ 54,00, com seis pacotes.
Um aluno testa x=4 e observa que 2x+3 e 3x−1 dão 11. Conclui que as expressões são iguais para qualquer x. Produza outro valor inteiro que refute a conclusão e descubra todos os valores de x para os quais a igualdade é verdadeira.
Ver solução explicada
- Dar um valor discriminante e avaliar as duas expressões.
- Resolver a igualdade para estabelecer seu conjunto completo de soluções.
Resposta: Por exemplo x=0 dá 3 e −1, refutando a identidade. Resolver 2x+3=3x−1 dá x=4. Logo a igualdade é verdadeira somente para 4; o teste original verificou uma solução, não uma identidade.
Por exemplo x=0 dá 3 e −1, refutando a identidade. Resolver 2x+3=3x−1 dá x=4. Logo a igualdade é verdadeira somente para 4; o teste original verificou uma solução, não uma identidade.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 7º ano, EF07MA18 (p. 307). Recorte editorial: construir e comparar equações a partir de soluções e distinguir uma verificação pontual de equivalência. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

Continua por este corredor

Praticar isto: Resolver equações de primeiro grau