8º anoPercurso edumaterial
O que você vai aprender
- Recuperar a sobreposição a partir de inventários de área e distinguir área de duas regiões de área da união.
- Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.
Antes de começar
- Calcular áreas de retângulos.
- Somar e subtrair medidas de área na mesma unidade.
O que precisamos distinguir
Somar áreas é legítimo quando as regiões não se sobrepõem, ou quando queremos contar separadamente cada cobertura. Para medir uma união, uma parte comum foi contada duas vezes na soma. Retire essa parte uma vez. Para medir somente as partes exclusivas, retire a parte comum de cada região. A finalidade determina qual quantidade procurar.
Um inventário pode registrar área de cada região e área total coberta. A diferença entre a soma e a união recupera a área comum, desde que existam apenas as duas regiões consideradas e a união não inclua outras partes. Confira se a área comum cabe em cada região; um número negativo ou maior que a menor região denuncia incompatibilidade.
Dados de contorno ou de um lado não determinam automaticamente uma área. Mesmo com a área total fixada, podem existir repartições diferentes entre regiões. Uma tabela sem desenho é suficiente quando todas as relações necessárias estão explícitas no texto; ela não autoriza inventar posições ou medidas que não foram dadas.
- Área comum
- Área dos pontos pertencentes às duas regiões; na soma das áreas individuais, ela é contada duas vezes.
Escolher e conferir
- Diga se a pergunta conta união, coberturas ou partes exclusivas.
- Registre as áreas individuais e a área comum, com a mesma unidade.
- Retire uma ou duas contagens da parte comum conforme a pergunta.
- Confira os limites físicos e a suficiência dos dados.
Um caso resolvido
Duas regiões retangulares A e B têm áreas 30 m² e 24 m² e se sobrepõem em 6 m². Não há outras regiões. Um orçamento cobra R$ 2,00 por m² da união; outro cobra as duas coberturas separadamente pelo mesmo preço. Calcule a área e o custo usados em cada orçamento e a diferença.
- União: 30+24−6=48 m², custo R$ 96,00.
- Coberturas separadas: 54 m² contados, custo R$ 108,00.
- Diferença R$ 12,00, correspondente a contar mais uma cobertura dos 6 m² comuns.
União: 30+24−6=48 m², custo R$ 96,00. Coberturas separadas: 54 m² contados, custo R$ 108,00. Diferença R$ 12,00, correspondente a contar mais uma cobertura dos 6 m² comuns.
Registro do exemplo
| Contagem | Área contabilizada (m²) | Custo (R$) |
|---|---|---|
| União | 48 | 96,00 |
| Duas coberturas | 54 | 108,00 |
| Diferença | 6 | 12,00 |
Por que esse erro acontece
Chamar toda soma de áreas de área da união.
Especificar se a sobreposição conta uma ou duas coberturas.
A mesma superfície pode receber duas coberturas, mas pertence uma vez à união.
- Área da união = soma das áreas − área comum.
- As partes exclusivas se obtêm retirando a área comum de cada região.
- Uma área comum negativa ou maior que a menor região denuncia dados incompatíveis.
Confira com outro casoExperimente outro caso
Um registro de duas regiões informa áreas 18 m² e 14 m² e união 21 m². Reconstrua a área comum e as duas partes exclusivas. Verifique se os dados são possíveis e calcule quanto da união pertence a exatamente uma região.
Uma ficha informa áreas 12 m² e 20 m² e união 9 m². Teste sua consistência. Mantendo as duas áreas individuais, determine o menor e o maior valor possível da união, incluindo os limites, e explique que configurações atingem esses limites.
Solução acessível sem interação
Resposta: Sua resolução e verificação: Área comum: 18+14−21=11 m². Exclusivas: 7 m² e 3 m². A comum é não negativa e menor que cada área, portanto os números são compatíveis. Exatamente uma região: 7+3=10 m²; 10+11=21 confere a união.
Modelo de resposta: Área comum: 18+14−21=11 m². Exclusivas: 7 m² e 3 m². A comum é não negativa e menor que cada área, portanto os números são compatíveis. Exatamente uma região: 7+3=10 m²; 10+11=21 confere a união.
Critérios para revisar sua resposta:
- Reconstruir as três partes sem contagem dupla.
- Conferir limites e a soma da união.
Área comum: 18+14−21=11 m². Exclusivas: 7 m² e 3 m². A comum é não negativa e menor que cada área, portanto os números são compatíveis. Exatamente uma região: 7+3=10 m²; 10+11=21 confere a união.
Resposta: Sua resolução e verificação: A união não pode ser menor que 20 m², pois contém a região maior. A ficha é impossível. O mínimo é 20 m² quando a região menor está contida na maior; o máximo é 32 m² quando não há sobreposição de área. Assim a união está de 20 a 32 m².
Modelo de resposta: A união não pode ser menor que 20 m², pois contém a região maior. A ficha é impossível. O mínimo é 20 m² quando a região menor está contida na maior; o máximo é 32 m² quando não há sobreposição de área. Assim a união está de 20 a 32 m².
Critérios para revisar sua resposta:
- Detectar a incompatibilidade sem aceitar área comum impossível.
- Dar limites atingíveis com as condições que os realizam.
A união não pode ser menor que 20 m², pois contém a região maior. A ficha é impossível. O mínimo é 20 m² quando a região menor está contida na maior; o máximo é 32 m² quando não há sobreposição de área. Assim a união está de 20 a 32 m².
O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.
Solução acessível sem interação
- Evitar retirar duas vezes a sobreposição ao obter a parte descoberta.
- Calcular separadamente a área exclusiva e limitar a coincidência ao caso.
Resposta: União dos adesivos: 24+20−8=36 cm². Descoberto: 64−36=28 cm². Exatamente um adesivo: 24+20−2×8=28 cm². A igualdade dos dois resultados é própria deste caso, não uma identidade geral.
União dos adesivos: 24+20−8=36 cm². Descoberto: 64−36=28 cm². Exatamente um adesivo: 24+20−2×8=28 cm². A igualdade dos dois resultados é própria deste caso, não uma identidade geral.
Verifique agora
Duas faixas retangulares se cruzam dentro de um piso de 40 m². A cobre 18 m²; B cobre 16 m². Sabe-se que oito metros quadrados do piso ficam fora das faixas. Calcule a área comum e a parte coberta só por B. Depois decida se a afirmação “a metade do piso está coberta por exatamente uma faixa” é correta.
Ver solução explicada
- Recuperar união, comum e parte exclusiva em ordem coerente.
- Conferir a afirmação com o piso inteiro como referência.
Resposta: União: 40−8=32 m². Comum: 18+16−32=2 m². Só B: 16−2=14 m². Exatamente uma: 32−2=30 m², que é 3/4 do piso, não metade.
União: 40−8=32 m². Comum: 18+16−32=2 m². Só B: 16−2=14 m². Exatamente uma: 32−2=30 m², que é 3/4 do piso, não metade.
Construa dois inventários de áreas A, B e comum C, todos em m² inteiros positivos, com união 30 m². Num deles, A deve ter o dobro da área de B; no outro, A e B devem ser iguais. Dê as três áreas de cada inventário e confira que a comum não supera nenhuma região.
Ver solução explicada
- Produzir os dois inventários com as relações pedidas.
- Conferir a união e os limites da área comum.
Resposta: Exemplos: A=24, B=12, C=6 dão união 30 e A=2B. A=18, B=18, C=6 também dão 30. Em ambos, C≤min(A, B). Outras construções com todas as condições são aceitas; regiões retangulares podem realizar esses exemplos por faixas de mesma altura.
Exemplos: A=24, B=12, C=6 dão união 30 e A=2B. A=18, B=18, C=6 também dão 30. Em ambos, C≤min(A, B). Outras construções com todas as condições são aceitas; regiões retangulares podem realizar esses exemplos por faixas de mesma altura.
Um relatório fornece apenas as áreas A=20 m² e B=15 m² e pede orçamento a R$ 3,00 por m² da união. Mostre com dois valores admissíveis de área comum que o custo não é determinado. Calcule ambos os custos e indique qual informação adicional resolveria o orçamento.
Ver solução explicada
- Construir duas configurações numéricas admissíveis com custos distintos.
- Pedir informação que realmente elimine a indeterminação.
Resposta: Com comum 0, a união é 35 m² e custa R$ 105,00. Com comum 5 m², é 30 m² e custa R$ 90,00. Ambos respeitam as áreas dadas. É preciso informar a área comum, a união ou medidas e posição que as determinem.
Com comum 0, a união é 35 m² e custa R$ 105,00. Com comum 5 m², é 30 m² e custa R$ 90,00. Ambos respeitam as áreas dadas. É preciso informar a área comum, a união ou medidas e posição que as determinem.
Um painel quadrado de lado 8 cm recebe dois adesivos retangulares de áreas 24 cm² e 20 cm², inteiramente dentro dele. A região comum dos adesivos tem 8 cm². Um aluno calcula 64−24−20=20 cm² de painel descoberto. Corrija o cálculo e determine também a área que está sob exatamente um adesivo.
Ver solução explicada
- Evitar retirar duas vezes a sobreposição ao obter a parte descoberta.
- Calcular separadamente a área exclusiva e limitar a coincidência ao caso.
Resposta: União dos adesivos: 24+20−8=36 cm². Descoberto: 64−36=28 cm². Exatamente um adesivo: 24+20−2×8=28 cm². A igualdade dos dois resultados é própria deste caso, não uma identidade geral.
União dos adesivos: 24+20−8=36 cm². Descoberto: 64−36=28 cm². Exatamente um adesivo: 24+20−2×8=28 cm². A igualdade dos dois resultados é própria deste caso, não uma identidade geral.
Alinhamento curricular e fontes
- BNCC, 8º ano, EF08MA19 (p. 315). Recorte editorial: recuperar a sobreposição a partir de inventários de área e distinguir área de duas regiões de área da união. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular