Uma fatoração vale para quais valores?

9º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Distinguir identidade, igualdade pontual e escolha da forma algébrica em uma comparação.
Construir ou corrigir uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Multiplicar binômios e reduzir termos semelhantes.
Resolver equações de primeiro grau.

O que precisamos distinguir

Uma fatoração correta descreve a mesma expressão para todos os valores do domínio considerado. Testar um valor pode revelar um erro, mas acertar esse valor não demonstra uma identidade. Compare a expansão com os coeficientes originais ou use propriedades que conservem toda a expressão.

Escolha a forma pelo que precisa descobrir. Um produto revela quando a expressão é zero; uma soma pode facilitar comparar coeficientes; subtrair duas expressões pode cancelar termos e reduzir uma comparação a primeiro grau. Não resolva duas equações separadas quando a pergunta é quando suas expressões têm o mesmo valor.

Para construir uma equação com raízes dadas, r e s, o produto (x−r)(x−s)=0 conserva as duas possibilidades. Multiplicar todos os termos por um número diferente de zero conserva essas raízes, embora mude os valores da expressão fora delas. A igualdade dos conjuntos de raízes não obriga igualdade entre as expressões.

Identidade algébrica: Igualdade verdadeira para todos os valores do domínio declarado, e não apenas para uma solução.

Escolher e conferir

Distinga comparar expressões de procurar seus zeros.
Use uma expansão para conferir todos os coeficientes de uma fatoração.
Escolha produto, soma ou diferença conforme a pergunta.
Confira os valores encontrados na formulação original e declare o alcance.

Um caso resolvido

Uma ficha propõe x²−5x+6=(x−1)(x−6). Em x=0, os dois lados dão 6. Determine todos os valores em que essa igualdade vale e decida se a ficha apresenta uma identidade. Depois dê a fatoração correta do polinômio original.

A expansão proposta é x²−7x+6.
Igualar ao original reduz −5x=−7x, logo x=0.
Só esse valor funciona, portanto não é identidade.
A fatoração correta é (x−2)(x−3), pois soma dos termos constantes −5 e produto 6 recompõem os coeficientes.

A expansão proposta é x²−7x+6. Igualar ao original reduz −5x=−7x, logo x=0. Só esse valor funciona, portanto não é identidade. A fatoração correta é (x−2)(x−3), pois soma dos termos constantes −5 e produto 6 recompõem os coeficientes.

Registro do exemplo

Expressão	Coeficiente de x	Termo constante
x²−5x+6	−5	6
(x−1)(x−6)	−7	6
(x−2)(x−3)	−5	6

Por que esse erro acontece

Aceitar a identidade porque acertou o termo constante.

Conferir também o termo de primeiro grau e o de segundo grau.

Diferentes expressões podem coincidir no teste x=0.

Uma fatoração correta vale para todo valor; acertar um teste numérico não prova identidade.
Os mesmos zeros não significam expressões iguais: k·(x−r)(x−s) tem as mesmas raízes para todo k ≠ 0.
Para saber quando duas expressões têm o mesmo valor, subtraia uma da outra.

Confira com outro caso

Dois polinômios são P=(x+2)(x−7) e Q=x²−5x−14. Outro registro usa R=−2x²+10x+28. Decida quais expressões são idênticas e quais apenas têm os mesmos zeros. Dê todos os zeros e compare os três valores em x=1.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: P se expande como x²−5x−14, logo P=Q identicamente. R=−2Q; tem os mesmos zeros, −2 e 7, mas não é idêntico. Em x=1, P=Q=−18 e R=36.

Modelo de resposta: P se expande como x²−5x−14, logo P=Q identicamente. R=−2Q; tem os mesmos zeros, −2 e 7, mas não é idêntico. Em x=1, P=Q=−18 e R=36.

Critérios para revisar sua resposta:

Conferir as identidades pela expansão e fator constante.
Distinguir valores de expressões e conjuntos de zeros.

P se expande como x²−5x−14, logo P=Q identicamente. R=−2Q; tem os mesmos zeros, −2 e 7, mas não é idêntico. Em x=1, P=Q=−18 e R=36.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Enumerar todos os pares de fatores admitidos.
Relacionar soma, coeficientes e raízes com sinais corretos.

Resposta: Pares positivos com produto doze: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4. Logo b = 13, b = 8 ou b = 7. Fatores (x+1)(x+12), (x+2)(x+6) e (x+3)(x+4); raízes −1 e −12, −2 e −6, −3 e −4, respectivamente. Não há outros pares positivos com u≤v.

Pares positivos com produto doze: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4. Logo b = 13, b = 8 ou b = 7. Fatores (x+1)(x+12), (x+2)(x+6) e (x+3)(x+4); raízes −1 e −12, −2 e −6, −3 e −4, respectivamente. Não há outros pares positivos com u≤v.

Verifique agora

Uma expressão é P=x²+6x+9. Pretende-se alterar só o termo constante para que x=−2 se torne uma raiz. Determine o novo termo, fatore o polinômio resultante e descubra a outra raiz. Verifique ambas.
Ver solução explicada
- Reconstruir o coeficiente autorizado sem mudar os demais.
- Fatorar e verificar todas as raízes.
Resposta: Para −2: 4−12+c=0, logo c=8. O novo polinômio é x²+6x+8=(x+2)(x+4); raízes −2 e −4. Em −4: 16−24+8=0. A mudança do termo constante também altera a outra raiz; não se conserva o quadrado perfeito original.
Para −2: 4−12+c=0, logo c=8. O novo polinômio é x²+6x+8=(x+2)(x+4); raízes −2 e −4. Em −4: 16−24+8=0. A mudança do termo constante também altera a outra raiz; não se conserva o quadrado perfeito original.
Compare P=(x−3)(x+5) e Q=(x−1)(x+3). Encontre todos os reais em que P=Q sem procurar separadamente os zeros de P e Q. Dê o valor comum, se existir, e explique por que igualar cada produto a zero responderia a outra pergunta.
Ver solução explicada
- Subtrair as expressões e reconhecer a incompatibilidade constante.
- Distinguir igualdade de valores de zeros individuais.
Resposta: P=x²+2x−15; Q=x²+2x−3. A diferença P−Q=−12 para todo real. Não há x com P=Q, nem valor comum. Os zeros individuais não resolvem uma comparação entre expressões não necessariamente nulas.
P=x²+2x−15; Q=x²+2x−3. A diferença P−Q=−12 para todo real. Não há x com P=Q, nem valor comum. Os zeros individuais não resolvem uma comparação entre expressões não necessariamente nulas.
Uma equipe quer um polinômio de segundo grau com coeficiente de x² igual a 1, termo constante 12 e raiz 3. Um relatório sugere (x+3)(x+4), porque 3×4=12. Mostre por que a sugestão não atende ao pedido, encontre o polinômio correto, seu coeficiente de x e a outra raiz, e verifique que manter apenas o produto dos termos constantes não basta.
Ver solução explicada
- Usar a raiz dada para fixar um fator e o termo constante para encontrar o outro.
- Conferir o coeficiente e a segunda raiz pela expansão e rejeitar a sugestão por substituição.
Resposta: Se 3 é raiz, um fator é (x−3). Escrevendo o polinômio como (x−3)(x−r), o termo constante é 3r=12, logo r=4: o polinômio é (x−3)(x−4)=x²−7x+12, com coeficiente de x igual a −7 e outra raiz 4. A sugestão dá x²+7x+12, de raízes −3 e −4: tem o mesmo termo constante, mas 3 não é raiz, pois 9+21+12=42≠0.
Se 3 é raiz, um fator é (x−3). Escrevendo o polinômio como (x−3)(x−r), o termo constante é 3r=12, logo r=4: o polinômio é (x−3)(x−4)=x²−7x+12, com coeficiente de x igual a −7 e outra raiz 4. A sugestão dá x²+7x+12, de raízes −3 e −4: tem o mesmo termo constante, mas 3 não é raiz, pois 9+21+12=42≠0.
A fatoração proposta para x²+bx+12 é (x+u)(x+v), com u e v inteiros positivos e u≤v. Encontre todos os valores possíveis de b. Para cada um, dê os fatores e as duas raízes. Não restrinja os fatores a números primos.
Ver solução explicada
- Enumerar todos os pares de fatores admitidos.
- Relacionar soma, coeficientes e raízes com sinais corretos.
Resposta: Pares positivos com produto doze: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4. Logo b = 13, b = 8 ou b = 7. Fatores (x+1)(x+12), (x+2)(x+6) e (x+3)(x+4); raízes −1 e −12, −2 e −6, −3 e −4, respectivamente. Não há outros pares positivos com u≤v.
Pares positivos com produto doze: 1 e 12; 2 e 6; 3 e 4. Logo b = 13, b = 8 ou b = 7. Fatores (x+1)(x+12), (x+2)(x+6) e (x+3)(x+4); raízes −1 e −12, −2 e −6, −3 e −4, respectivamente. Não há outros pares positivos com u≤v.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 9º ano, EF09MA09 (p. 317). Recorte editorial: distinguir identidade, igualdade pontual e escolha da forma algébrica em uma comparação. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

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Praticar isto: Fatorar para resolver equações quadráticas