9º anoPercurso edumaterial
O que você vai aprender
- Decidir suficiência de cotas, produzir certificados por quadrados e separar raiz principal de soluções de equação.
- Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.
Antes de começar
- Calcular quadrados de números decimais.
- Reconhecer números racionais e suas representações decimais.
O que precisamos distinguir
Para comparar raízes quadradas de números não negativos, podemos comparar seus radicandos. Para localizar uma raiz entre decimais positivos, compare os quadrados desses decimais com o radicando. Assim a decisão pode ser exata sem escrever todas as casas da raiz.
Uma cota inferior e uma superior autorizam algumas decisões e deixam outras em aberto. Se o limite da decisão ficar fora do intervalo, um extremo pode bastar. Se o limite atravessar o intervalo, peça dados mais finos ou compare exatamente; não escolha por arredondamento quando a diferença relevante foi apagada.
O símbolo √a indica a raiz principal, não negativa. Já a equação x²=a pode ter duas soluções reais, uma positiva e uma negativa. Ao representar uma distância, escolha a não negativa; ao resolver uma equação sem essa restrição, conserve as duas. A forma exata pode ser mais útil que um decimal para verificar igualdade.
Um racional pode ser escrito como fração de inteiros com denominador diferente de zero. Sua escrita decimal é finita ou periódica. Uma quantidade irracional tem escrita decimal infinita não periódica. Um visor com poucas casas não revela sozinho qual desses padrões continua depois das casas mostradas.
- Cota
- Limite inferior ou superior que restringe uma quantidade, sem necessariamente informar seu valor exato.
Escolher e conferir
- Identifique se a pergunta trata de raiz principal, soluções de equação ou medida.
- Fixe o limite e preserve as desigualdades estritas ou inclusivas.
- Compare quadrados apenas quando as quantidades comparadas forem não negativas.
- Declare se os dados decidem ou se uma informação mais fina é necessária.
Um caso resolvido
Uma medida exata é √13 cm. Ela precisa ser menor que 3,61 cm. Um visor exibe 3,6 cm. Decida pela comparação exata de quadrados e localize a medida entre 3,60 e 3,61 cm.
- 3,60²=12,96<13; 3,61²=13,0321>13.
- Logo 3,60<√13<3,61 cm e a condição estrita é satisfeita.
- O visor sozinho não certificaria essa desigualdade; os quadrados fazem a comparação.
3,60²=12,96<13; 3,61²=13,0321>13. Logo 3,60<√13<3,61 cm e a condição estrita é satisfeita. O visor sozinho não certificaria essa desigualdade; os quadrados fazem a comparação.
Registro do exemplo
| Candidato (cm) | Quadrado (cm²) | Relação com 13 |
|---|---|---|
| 3,60 | 12,96 | Menor |
| 3,61 | 13,0321 | Maior |
Por que esse erro acontece
Transformar um decimal arredondado em igualdade exata.
Conservar a raiz ou usar cotas que decidam a pergunta.
O arredondamento descarta informação que pode importar perto de um limite.
- Para números não negativos, comparar raízes equivale a comparar radicandos ou quadrados.
- Cotas decidem uma pergunta só quando o limite fica fora do intervalo.
- √a é a raiz não negativa; a equação x² = a pode ter duas soluções.
Confira com outro casoExperimente outro caso
Um instrumento só informa 2,23<s<2,24 cm. Avalie se isso basta para decidir s<2,25 cm e s<2,235 cm. Para a decisão que permanecer aberta, dê dois valores racionais compatíveis com as cotas e com respostas diferentes à condição.
Uma ficha registra a medida principal √5 cm e outra resolve x²=5 sem restrição de sinal. Compare os conjuntos de respostas. Depois decida se −2,24<x<−2,23 contém uma solução da equação, usando quadrados exatos dos módulos.
Solução acessível sem interação
Resposta: Sua resolução e verificação: A primeira é certa: s<2,24<2,25. A segunda fica aberta. Por exemplo 2,232 cm satisfaz as cotas e é menor que 2,235; 2,238 cm satisfaz as cotas e é maior. As cotas não determinam o lado do limite intermediário.
Modelo de resposta: A primeira é certa: s<2,24<2,25. A segunda fica aberta. Por exemplo 2,232 cm satisfaz as cotas e é menor que 2,235; 2,238 cm satisfaz as cotas e é maior. As cotas não determinam o lado do limite intermediário.
Critérios para revisar sua resposta:
- Decidir o limite externo pela cota superior.
- Construir dois testemunhos dentro do intervalo para o limite interno.
A primeira é certa: s<2,24<2,25. A segunda fica aberta. Por exemplo 2,232 cm satisfaz as cotas e é menor que 2,235; 2,238 cm satisfaz as cotas e é maior. As cotas não determinam o lado do limite intermediário.
Resposta: Sua resolução e verificação: A medida é só √5 cm; a equação tem −√5 e √5. Como 2,23²=4,9729<5<5,0176=2,24², temos 2,23<√5<2,24. Ao negar, inverte-se a ordem: −2,24<−√5<−2,23. O intervalo contém a solução negativa.
Modelo de resposta: A medida é só √5 cm; a equação tem −√5 e √5. Como 2,23²=4,9729<5<5,0176=2,24², temos 2,23<√5<2,24. Ao negar, inverte-se a ordem: −2,24<−√5<−2,23. O intervalo contém a solução negativa.
Critérios para revisar sua resposta:
- Separar os domínios e conservar as duas soluções reais da equação.
- Justificar a localização negativa sem comparar quadrados ignorando sinais.
A medida é só √5 cm; a equação tem −√5 e √5. Como 2,23²=4,9729<5<5,0176=2,24², temos 2,23<√5<2,24. Ao negar, inverte-se a ordem: −2,24<−√5<−2,23. O intervalo contém a solução negativa.
O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.
Solução acessível sem interação
- Simplificar por fatores quadrados e estabelecer a igualdade exata.
- Comparar a soma com a raiz da soma por valores quadrados.
Resposta: √12=2√3 e √27=3√3, logo A=5√3. B=√75=5√3, então A=B exatamente. C=√39, mas A²=75 e C²=39; como ambos são positivos, C<A. A soma de raízes não é a raiz da soma em geral.
√12=2√3 e √27=3√3, logo A=5√3. B=√75=5√3, então A=B exatamente. C=√39, mas A²=75 e C²=39; como ambos são positivos, C<A. A soma de raízes não é a raiz da soma em geral.
Verifique agora
Um visor trunca a duas casas decimais, isto é, apaga as casas seguintes sem arredondar, e mostra 1,41. Um aluno conclui que o número original é racional. Construa um número racional e um irracional compatíveis com o visor; use √2 para construir o irracional e confira sua localização pelos quadrados de 1,41 e 1,42. Diga se o visor distingue os dois tipos.
Ver solução explicada
- Produzir um racional e um irracional compatíveis com o truncamento.
- Certificar a raiz no intervalo e limitar a conclusão do visor.
Resposta: Um racional possível é 141/100=1,41. Para √2: 1,41²=1,9881<2<2,0164=1,42². Logo 1,41<√2<1,42 e o truncamento também mostra 1,41. O visor é compatível com ambos e não decide a classificação do número original.
Um racional possível é 141/100=1,41. Para √2: 1,41²=1,9881<2<2,0164=1,42². Logo 1,41<√2<1,42 e o truncamento também mostra 1,41. O visor é compatível com ambos e não decide a classificação do número original.
Procure dois radicandos inteiros positivos distintos cujas raízes principais sejam irracionais e fiquem estritamente entre 5 e 6. A soma dos radicandos deve ser 60. Liste todos os pares sem repetir a ordem e verifique por que nenhum quadrado perfeito pode entrar.
Ver solução explicada
- Enumerar todos os pares distintos sob intervalo e soma.
- Conferir a localização e excluir quadrados perfeitos e o par repetido.
Resposta: Os radicandos precisam estar entre 26 e 35. Com soma 60 e valores distintos, os pares são 26 e 34; 27 e 33; 28 e 32; 29 e 31. O par 30 e 30 é excluído por repetição. Todos estão estritamente entre 25 e 36, sem quadrados perfeitos; as raízes são irracionais e estão entre 5 e 6.
Os radicandos precisam estar entre 26 e 35. Com soma 60 e valores distintos, os pares são 26 e 34; 27 e 33; 28 e 32; 29 e 31. O par 30 e 30 é excluído por repetição. Todos estão estritamente entre 25 e 36, sem quadrados perfeitos; as raízes são irracionais e estão entre 5 e 6.
Uma raiz principal √a está estritamente entre 1,6 e 1,7. Sabe-se também que a tem exatamente uma casa decimal. Liste todos os valores possíveis de a e determine quais dão √a<1,65. Use quadrados exatos, sem aproximar as raízes.
Ver solução explicada
- Reconstruir o intervalo do radicando e sua grade decimal.
- Aplicar o segundo limite por quadrado exato.
Resposta: 2,56<a<2,89. Com uma casa decimal, a pode ser 2,6; 2,7 ou 2,8. Como 1,65²=2,7225, os valores 2,6 e 2,7 dão raiz menor que 1,65; 2,8 não.
2,56<a<2,89. Com uma casa decimal, a pode ser 2,6; 2,7 ou 2,8. Como 1,65²=2,7225, os valores 2,6 e 2,7 dão raiz menor que 1,65; 2,8 não.
Compare as expressões A=√12+√27 e B=√75. Um teste decimal sugere igualdade. Verifique exatamente por extração de fatores quadrados. Depois compare C=√(12+27) com A para explicar por que não é permitido juntar os radicandos de uma soma.
Ver solução explicada
- Simplificar por fatores quadrados e estabelecer a igualdade exata.
- Comparar a soma com a raiz da soma por valores quadrados.
Resposta: √12=2√3 e √27=3√3, logo A=5√3. B=√75=5√3, então A=B exatamente. C=√39, mas A²=75 e C²=39; como ambos são positivos, C<A. A soma de raízes não é a raiz da soma em geral.
√12=2√3 e √27=3√3, logo A=5√3. B=√75=5√3, então A=B exatamente. C=√39, mas A²=75 e C²=39; como ambos são positivos, C<A. A soma de raízes não é a raiz da soma em geral.
Alinhamento curricular e fontes
- BNCC, 9º ano, EF09MA02 e EF09MA03 (p. 317). Recorte editorial: decidir suficiência de cotas, produzir certificados por quadrados e separar raiz principal de soluções de equação. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular