10.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar las representaciones y restricciones de cónicas, pertenencia y transformaciones.
- Elegir y justificar procedimientos adecuados al caso.
- Contrastar resultados, errores y límites de la conclusión.
Antes de empezar
- Operaciones con reales y lectura de expresiones algebraicas.
- Interpretación de tablas y coordenadas básicas.
Cónicas, pertenencia y transformaciones
Una ecuación de lugar geométrico resume una condición para sus puntos. Antes de interpretar una figura conviene comprobar qué relación permanece constante: distancia a centro, suma de distancias a focos o equidistancia a foco y recta.
Una transformación cambia ubicación o tamaño de un lugar sin perder su definición. Los signos dentro de x−h e y−k indican coordenadas del centro o vértice; no se leen aislados. La sustitución de un punto permite contrastar pertenencia incluso sin una imagen.
- conicas transformaciones
- Una circunferencia no degenerada es el lugar de distancia r>0 a un centro; una parábola reúne puntos equidistantes de un foco y una directriz que no lo contiene.
Razonar antes de operar
- Identifica la condición geométrica del lugar.
- En una forma canónica, lee coordenadas como diferencias.
- Obtén radio tomando raíz positiva de r².
- Verifica un punto o extremo por sustitución.
Caso resuelto
La circunferencia (x−3)²+(y+2)²=100 se traslada cuatro unidades a la izquierda. Escribe la nueva ecuación.
- Su centro inicial es (3,−2) y radio diez.
- La traslación cambia el centro a (−1,−2), conservando radio.
- Se escriben las diferencias respecto del nuevo centro.
(x+1)²+(y+2)²=100.
Distingue qué cambia
- Círculo de distancia fija
El radio positivo fija todos los puntos de la circunferencia.
- Parábola trasladada
En y=(x−h)²+k, el vértice es (h,k) y no el par de signos escrito sin interpretar.
Un paso que cambia la conclusión
La circunferencia (x+1)²+(y+2)²=100 tiene radio cien.
Cien es r²; el radio es diez. El centro es (−1,−2).
Cien es r²; el radio es diez. El centro es (−1,−2).
- Una circunferencia no degenerada es el lugar de distancia r>0 a un centro; una parábola reúne puntos equidistantes de un foco y una directriz que no lo contiene.
- Identifica la condición geométrica del lugar.
- Verifica un punto o extremo por sustitución.
Relaciona representación y significadoPrueba otro caso
Asocia cada condición con la familia de curva.
Relaciona cada ecuación con la descripción geométrica.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Suma constante de distancias a dos focos, mayor que su separación → Elipse; Diferencia absoluta constante positiva de distancias a dos focos, menor que su separación → Hipérbola; Equidistancia a punto fijo y recta fija que no lo contiene → Parábola
Son condiciones distintas; las restricciones evitan lugares degenerados.
Respuesta: (x−1)²+y²=4 → Circunferencia desplazada a la derecha; y=x²−5 → Parábola desplazada hacia abajo; y=−x² → Parábola que abre hacia abajo
Los cambios dentro del cuadrado desplazan horizontalmente y los externos modifican altura o apertura.
Decide y justificaPrueba otro caso
¿Qué condición define una circunferencia?
¿Qué punto pertenece a x²+y²=25?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Distancia fija positiva a un centro. — Cada punto está a la misma distancia positiva del centro.
La distancia fija positiva al centro define la circunferencia. La equidistancia a foco y directriz define una parábola; la suma fija de distancias a focos define una elipse no degenerada cuando supera su separación.
Respuesta: (3,4) — Sumo los cuadrados: nueve más dieciséis da veinticinco.
La suma de cuadrados de tres y cuatro es veinticinco.
Detecta el primer errorPrueba otro caso
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. (x+3)²+(y−4)²=81.
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. y=(x−6)²+2.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: El centro es (3,−4) copiando signos interiores. → El centro es (−3,4).
Los signos se leen como diferencias respecto del centro.
Respuesta: El mínimo de y ocurre en x=−6 porque cambia el signo del centro. → El cuadrado se anula en x=6.
La entrada que anula x menos seis fija la abscisa del vértice.
Integra y comprueba
Una circunferencia tiene centro (−2,1) y pasa por (1,5). Escribe su ecuación y verifica el punto.
Solución accesible sin interacción
- Respeta las restricciones del caso.
- Presenta resultado compatible con datos y unidades.
- Justifica procedimiento y contrasta la conclusión.
Respuesta: r²=3²+4²=25; (x+2)²+(y−1)²=25. Al sustituir (1,5), se obtiene 9+16=25.
r²=3²+4²=25; (x+2)²+(y−1)²=25. Al sustituir (1,5), se obtiene 9+16=25.
Compruébalo ahora
Da el radio de (x−7)²+y²=121.
Ver solución explicada
Respuesta: 11
El radio es raíz positiva de ciento veintiuno.
¿Pertenece (6,8) a x²+y²=100?
Ver solución explicada
Respuesta: Sí: 36+64=100.
La sustitución satisface la condición exacta del lugar.
Da el vértice de y=(x+5)²+4.
Ver solución explicada
Respuesta: (−5,4)
El cuadrado se anula cuando x es menos cinco.
¿Representa x²+y²=0 una circunferencia no degenerada?
Ver solución explicada
Respuesta: No; su único punto es el origen.
Radio cero no cumple la condición positiva de una circunferencia no degenerada.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 10; DBA 5. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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Practicar esto: Cónicas y lugares geométricosMuestras y comparación de distribuciones