10.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar las representaciones y restricciones de funciones y cambio medio.
- Elegir y justificar procedimientos adecuados al caso.
- Contrastar resultados, errores y límites de la conclusión.
Antes de empezar
- Operaciones con reales y lectura de expresiones algebraicas.
- Interpretación de tablas y coordenadas básicas.
Funciones y cambio medio
Una función conecta entrada y salida mediante una asignación única. Una fórmula tiene restricciones algebraicas y, cuando representa conteos o medidas, también restricciones contextuales. En un costo, el cargo fijo no desaparece aunque no se compre ninguna unidad.
Para estudiar variación se comparan incrementos: cuánto cambió la salida y cuánto cambió la entrada. Dividir valores finales responde otra pregunta. La tasa media resume un intervalo y no describe por sí sola cada instante de un proceso no lineal.
- funciones cambio medio
- La tasa media de f entre a y b, con a≠b, es [f(b)−f(a)]/(b−a); sus unidades son las de salida divididas por las de entrada.
Razonar antes de operar
- Declara variables y unidades.
- Determina entradas permitidas por contexto y operaciones.
- Calcula ambas salidas del intervalo.
- Resta en el mismo orden y divide los incrementos.
Caso resuelto
Un servicio cuesta C(n)=9000+2200n pesos. Calcula costo de cinco cuadernos y tasa media entre dos y cinco.
- El dominio contextual son enteros no negativos.
- C(5)=20000 y C(2)=13400 pesos.
- El incremento de 6600 pesos se divide entre tres cuadernos.
C(5)=20000 pesos; tasa media=2200 pesos por cuaderno.
Distingue qué cambia
- Modelo aditivo
Un cargo por unidad constante produce una función afín.
- Modelo multiplicativo
Una duplicación por período produce crecimiento exponencial; no suma la misma cantidad.
Un paso que cambia la conclusión
Para C(5), dividir el costo total entre cinco entrega necesariamente el cargo por cuaderno.
Ese cociente mezcla cargo fijo y variable. La tasa por incremento conserva 2200 pesos por unidad.
Ese cociente mezcla cargo fijo y variable. La tasa por incremento conserva 2200 pesos por unidad.
- La tasa media de f entre a y b, con a≠b, es [f(b)−f(a)]/(b−a); sus unidades son las de salida divididas por las de entrada.
- Declara variables y unidades.
- Resta en el mismo orden y divide los incrementos.
Relaciona representación y significadoPrueba otro caso
Relaciona cada cociente con su magnitud.
Relaciona cada operación con su restricción real.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Cambio de posición dividido por tiempo transcurrido → Velocidad media; Cambio de velocidad dividido por tiempo transcurrido → Aceleración media; Masa dividida por volumen → Densidad media
La magnitud del numerador y denominador determina qué se está midiendo.
Respuesta: Raíz cuadrada de una expresión → Radicando no negativo; División entre una expresión → Denominador distinto de cero; Logaritmo de una expresión → Argumento estrictamente positivo
La operación decide las entradas permitidas, antes de interpretar el contexto.
Decide y justificaPrueba otro caso
¿Qué unidad corresponde a una variación de masa por tiempo?
Una tabla da (1,3), (2,5), (1,7). ¿Define una función de la primera coordenada?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: kg/min — Una tasa divide la masa por el tiempo transcurrido.
La masa está en el numerador y el tiempo en el denominador.
Respuesta: Una entrada tiene dos salidas: no es función. — La entrada 1 se asocia a 3 y a 7, por lo que falla la unicidad.
La entrada uno se asocia con tres y siete, rompiendo la unicidad.
Detecta el primer errorPrueba otro caso
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. Un nivel pasa de 10 a 28 cm entre minutos 1 y 4.
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. C(n)=4000+1500n es costo en pesos.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: La duración es cuatro minutos porque ese es el instante final. → La duración es 4−1=3 min.
Los instantes se restan; no se confunde hora final con duración.
Respuesta: El dominio de unidades vendidas incluye todos los reales negativos. → El dominio contextual son enteros no negativos.
Un conteo de unidades restringe la entrada más que la fórmula algebraica.
Integra y comprueba
Con f(t)=t², calcula tasas medias en [1; 2] y [2; 3]. ¿Puede una tasa representar ambos tramos?
Solución accesible sin interacción
- Respeta las restricciones del caso.
- Presenta resultado compatible con datos y unidades.
- Justifica procedimiento y contrasta la conclusión.
Respuesta: Las tasas son 3 y 5. Una sola tasa constante no representa exactamente los dos tramos; la función cambia con rapidez distinta.
Las tasas son 3 y 5. Una sola tasa constante no representa exactamente los dos tramos; la función cambia con rapidez distinta.
Compruébalo ahora
Si V pasa de 120 a 84 L en 6 min, da la tasa media con signo.
Ver solución explicada
Respuesta: -6
El incremento es −36 litros en seis minutos.
Da el dominio real de 1/(x+5).
Ver solución explicada
Respuesta: Los reales excepto −5.
La entrada −5 anula el denominador y debe excluirse.
Para f(x)=x², calcula tasa media en [3;5].
Ver solución explicada
Respuesta: 8
El incremento es veinticinco menos nueve dividido entre dos.
Una tabla da la misma entrada con salidas distintas. ¿Es función de esa entrada?
Ver solución explicada
Respuesta: No: viola unicidad de salida.
Una entrada del dominio debe tener una sola salida.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 10; DBA 3,6,7. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 10; DBA 6,7. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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