10.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar las representaciones y restricciones de medición trigonométrica y periodicidad.
- Elegir y justificar procedimientos adecuados al caso.
- Contrastar resultados, errores y límites de la conclusión.
Antes de empezar
- Operaciones con reales y lectura de expresiones algebraicas.
- Interpretación de tablas y coordenadas básicas.
Medición trigonométrica y periodicidad
En un triángulo rectángulo, las etiquetas opuesto y adyacente dependen del ángulo de referencia. La hipotenusa conserva su papel. Elegir una razón exige identificar qué distancias se conocen y cuál se busca; no basta con ver dos números.
En el círculo unitario, seno y coseno describen proyecciones con signo y se extienden a ángulos no agudos. Esa repetición permite modelar oscilaciones. En un modelo periódico, amplitud, línea media y período responden a preguntas diferentes: cuánto se aleja, alrededor de qué altura y cada cuánto repite.
- trigonometria periodicidad
- Para h(t)=D+A cos(ωt), con radianes y ω>0, el centro de oscilación es D, la amplitud |A| y el período 2π/ω.
Razonar antes de operar
- En un triángulo rectángulo, tan θ=desnivel/distancia horizontal y sen θ=desnivel/distancia inclinada. Identifica qué lado se conoce antes de elegir la razón.
- Usa la razón correspondiente y suma la altura de ojos si se pide altura total.
- En una oscilación, calcula semisuma y semidiferencia de alturas extremas.
- Determina ω a partir del período y fija la fase con la posición inicial.
Caso resuelto
Una plataforma empieza en su máximo 15 m, baja hasta 3 m y repite cada 12 s. Construye un coseno.
- La línea media es (15+3)/2=9 m.
- La amplitud es (15−3)/2=6 m y ω=2π/12=π/6.
- Un coseno sin fase empieza en su máximo cuando t=0.
h(t)=9+6 cos(πt/6), con t en segundos y ángulos en radianes.
Altura desde una distancia horizontal
Una torre está en terreno horizontal. Se observa desde 9 m de distancia horizontal, con tan θ=2/3 y los ojos a 1,4 m del suelo. Calcula la altura total.
- La tangente relaciona el desnivel desde los ojos hasta la cima con la distancia horizontal; no usa la distancia inclinada.
- El desnivel es 9·(2/3)=6 m.
- La altura total, medida desde el suelo, incluye la altura de los ojos: 6+1,4=7,4 m.
- Si se conociera la distancia inclinada, el desnivel se calcularía con seno; sustituirla en la tangente confundiría el denominador.
La torre mide 7,4 m desde el suelo.
Distingue qué cambia
- Altura constante añadida
Cambiar D mueve máximo y mínimo por igual.
- Factor interior
Cambiar ω modifica el tiempo de un ciclo sin modificar la amplitud.
Un paso que cambia la conclusión
La amplitud del modelo anterior es quince porque esa es su altura máxima.
La amplitud es seis, separación entre máximo y línea media; quince es la altura máxima.
La amplitud es seis, separación entre máximo y línea media; quince es la altura máxima.
- Para h(t)=D+A cos(ωt), con radianes y ω>0, el centro de oscilación es D, la amplitud |A| y el período 2π/ω.
- En medición, identifica ángulo y lado horizontal o inclinado.
- Determina ω a partir del período y fija la fase con la posición inicial.
Relaciona representación y significadoPrueba otro caso
Relaciona la razón con su construcción, respecto del mismo ángulo.
Relaciona cada cambio sobre sen t con su efecto.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: sen α → Cateto enfrentado dividido por lado mayor; cos α → Cateto contiguo dividido por lado mayor; tan α → Cateto enfrentado dividido por cateto contiguo
El lado mayor es la hipotenusa; los catetos dependen del ángulo seleccionado.
Respuesta: 3 sen t → Estira verticalmente; sen(2t) → Comprime horizontalmente; sen t+6 → Traslada hacia arriba
El factor exterior afecta alturas; el interior afecta tiempos; el término sumado mueve el centro.
Decide y justificaPrueba otro caso
Para θ agudo, ¿qué razón usa cateto adyacente e hipotenusa?
¿Cuál modelo tiene período 8 si t está en segundos y los ángulos en radianes?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Coseno — El coseno es adyacente dividido por hipotenusa.
El coseno relaciona el cateto junto al ángulo con la hipotenusa.
Respuesta: sen(πt/4) — El período es 2π/(π/4)=8 segundos.
Dos pi dividido entre pi sobre cuatro da ocho segundos.
Detecta el primer errorPrueba otro caso
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. h(t)=10+4 cos(πt/3), con radianes.
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. Una torre se mira a 6 m horizontales con tan θ=2 y ojos a 1 m.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: El período es πt/3, que cambia con t. → El período es 2π/(π/3)=6.
El período es constante y se obtiene del coeficiente interior, no de la expresión angular completa.
Respuesta: La altura total es doce metros sin sumar altura de ojos. → La altura total es 12+1=13 m.
La tangente se midió desde horizontal de ojos, que está sobre el suelo.
Integra y comprueba
Una torre se observa a 16 m horizontales con tan θ=0,5; los ojos están a 1,6 m. Calcula altura y explica la referencia.
Solución accesible sin interacción
- Respeta las restricciones del caso.
- Presenta resultado compatible con datos y unidades.
- Justifica procedimiento y contrasta la conclusión.
Respuesta: El desnivel sobre los ojos es 8 m y la altura total 9,6 m. Se suma la altura de ojos porque el ángulo se mide desde su horizontal.
El desnivel sobre los ojos es 8 m y la altura total 9,6 m. Se suma la altura de ojos porque el ángulo se mide desde su horizontal.
Compruébalo ahora
Desde 14 m horizontales, tan θ=0,5. Da desnivel sobre los ojos.
Ver solución explicada
Respuesta: 7
La altura relativa es distancia horizontal por tangente.
En 8+2 sen t, da mínimo y máximo.
Ver solución explicada
Respuesta: Mínimo 6 y máximo 10.
Se resta y suma la amplitud dos a la línea media ocho.
Da el período de cos(πt/7).
Ver solución explicada
Respuesta: 14
Dos pi dividido entre pi sobre siete da catorce.
Con r=1 y θ=180°, da el valor del coseno.
Ver solución explicada
Respuesta: -1
La proyección horizontal en la media vuelta apunta a la izquierda.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 10; DBA 4. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 10; DBA 4. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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