10.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar las representaciones y restricciones de reales, densidad e intervalos.
- Elegir y justificar procedimientos adecuados al caso.
- Contrastar resultados, errores y límites de la conclusión.
Antes de empezar
- Operaciones con reales y lectura de expresiones algebraicas.
- Interpretación de tablas y coordenadas básicas.
Reales, densidad e intervalos
Un número puede tener varias representaciones exactas. Una fracción, un decimal finito y un decimal periódico pueden nombrar el mismo racional; una aproximación de una raíz no cambia la naturaleza del número original. La densidad permite encontrar un real entre dos extremos por cercanos que estén.
Un intervalo expresa una condición sobre todos sus puntos, no una lista de ejemplos. El corchete incluye un extremo y el paréntesis lo excluye. Para comparar subconjuntos conviene leer primero las desigualdades y después contrastar extremos, interiores y valores fuera de la región.
- reales intervalos
- Un intervalo es un subconjunto de la recta real descrito por restricciones de orden; (a;b] reúne los x con a<x≤b.
Razonar antes de operar
- Identifica si se pide valor exacto o aproximación.
- Traduce cada extremo a una desigualdad, conservando igualdad o exclusión.
- Si transformas por un factor negativo, invierte el orden.
- Comprueba un interior y cada extremo en la condición original.
Caso resuelto
Sea t∈[−3;2) y y=4−2t. Encuentra el intervalo de y.
- La función disminuye porque el factor de t es negativo.
- t=−3 se admite y produce y=10.
- t=2 se excluye y produciría y=0; se ordenan las nuevas fronteras.
y∈(0;10]. El menor extremo es abierto y el mayor cerrado.
Distingue qué cambia
- Valor exacto
√8=2√2 conserva exactamente el mismo número.
- Aproximación
2,83 es un racional cercano a √8, sin identidad exacta.
Un paso que cambia la conclusión
Entre 0,6 y 0,7 no cabe otro real porque son décimas consecutivas.
0,65 es un contraejemplo interior. Las décimas de una tabla no son todos los reales.
0,65 es un contraejemplo interior. Las décimas de una tabla no son todos los reales.
- Un intervalo es un subconjunto de la recta real descrito por restricciones de orden; (a;b] reúne los x con a<x≤b.
- Identifica si se pide valor exacto o aproximación.
- Comprueba un interior y cada extremo en la condición original.
Relaciona representación y significadoPrueba otro caso
Relaciona cada expresión exacta con su característica.
Asocia cada transformación con su efecto sobre el orden.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: √49 → Entero positivo; −5/8 → Racional negativo no entero; √6 → Irracional positivo
La raíz de 49 es entera, el cociente no es entero y seis no es cuadrado perfecto.
Respuesta: Multiplicar por un factor positivo → Preserva el sentido; Multiplicar por un factor negativo → Invierte el sentido; Sumar una misma constante → Traslada ambos extremos
El signo del factor decide la monotonía; la suma solo desplaza.
Decide y justificaPrueba otro caso
¿Qué se puede afirmar de 1,272727… con bloque 27 repetido?
Si 2<x<6 y y=−x, ¿qué intervalo tiene y?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Es racional porque su decimal es periódico. — El período permite escribir el número como cociente de enteros.
La repetición periódica permite expresarlo como cociente de enteros.
Respuesta: (−6; −2) — Al negar la entrada, se invierte el orden de sus extremos: −6<y<−2.
Al cambiar el signo se invierte el orden de los extremos.
Detecta el primer errorPrueba otro caso
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. Se transforma t∈[1;4] con y=−t.
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. Se aproxima √19 a 4,36.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Multiplico por un negativo y conservo el orden: [−1;−4]. → La imagen ordenada es [−4;−1].
Un factor negativo invierte el orden, pero no elimina inclusiones.
Respuesta: El decimal finito escrito es exactamente √19. → 4,36 es una aproximación racional a la raíz irracional.
Una aproximación no reemplaza la identidad ni la racionalidad del original.
Integra y comprueba
Encuentra un racional y un irracional entre 2 y 3 y justifica las dos pertenencias.
Solución accesible sin interacción
- Respeta las restricciones del caso.
- Presenta resultado compatible con datos y unidades.
- Justifica procedimiento y contrasta la conclusión.
Respuesta: Por ejemplo 5/2 y √7: 2<2,5<3 y 4<7<9, de donde 2<√7<3; siete no es cuadrado perfecto.
Por ejemplo 5/2 y √7: 2<2,5<3 y 4<7<9, de donde 2<√7<3; siete no es cuadrado perfecto.
Compruébalo ahora
Da el punto medio de −1,2 y −0,4.
Ver solución explicada
Respuesta: -0.8
La semisuma es −0,8, interior a los dos extremos.
¿Pertenece 6 a (2;6]? Justifica.
Ver solución explicada
Respuesta: Sí: el corchete incluye seis.
El extremo derecho no es una desigualdad estricta.
Para x∈[1;3], y=−3x, escribe el intervalo de y.
Ver solución explicada
Respuesta: [−9;−3]
La transformación decreciente invierte extremos y conserva ambas inclusiones.
Da un irracional entre 3 y 4 y justifica.
Ver solución explicada
Respuesta: Por ejemplo √10, pues 9<10<16.
Comparar radicandos positivos prueba pertenencia; diez no es un cuadrado perfecto.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 10; DBA 1. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 10; DBA 2. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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