11.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar las representaciones y restricciones de del cambio medio a la derivada.
- Elegir y justificar procedimientos adecuados al caso.
- Contrastar resultados, errores y límites de la conclusión.
Antes de empezar
- Funciones y restricciones de dominio.
- Operaciones algebraicas y lectura de magnitudes con unidades.
Del cambio medio a la derivada
Las secantes describen cambio entre entradas distintas. Cuando la segunda entrada se acerca a la primera, sus pendientes pueden aproximarse a un valor único: la derivada. Ese límite describe cambio local y no es la altura del punto.
El comportamiento cercano y el valor puntual son información diferente. Una función puede tener un hueco y un límite, o tener valor y laterales distintos. Para continuidad se necesita valor definido igual al límite bilateral; para derivabilidad se necesita además concordancia del cociente de pendientes.
- aproximacion derivada
- La derivada f′(a) es lim [f(a+h)−f(a)]/h cuando h→0, si existe; representa pendiente tangente y razón instantánea con unidades de salida/entrada.
Razonar antes de operar
- Forma cociente de incrementos con h distinto de cero.
- Simplifica sin redefinir el punto excluido.
- Estudia el límite por ambos lados.
- Interpreta el valor como pendiente y conserva unidades.
Caso resuelto
Para s(t)=t²+3, en metros, obtiene la velocidad en t=2 s mediante el cociente.
- s(2+h)−s(2)=4h+h².
- Para h≠0, el cociente es 4+h m/s.
- Cuando h tiende a cero, el cociente tiende a cuatro.
La velocidad instantánea es 4 m/s y la posición en ese instante es 7 m.
Distingue qué cambia
- Secante
Entre t=2 y t=3, la pendiente es cinco, resumen de un intervalo.
- Tangente
En t=2, el límite da cuatro, cambio local.
Un paso que cambia la conclusión
La velocidad es siete porque s(2)=7.
Siete es posición; el límite del cociente de cambio vale cuatro y tiene otra unidad.
Siete es posición; el límite del cociente de cambio vale cuatro y tiene otra unidad.
- La derivada f′(a) es lim [f(a+h)−f(a)]/h cuando h→0, si existe; representa pendiente tangente y razón instantánea con unidades de salida/entrada.
- Forma cociente de incrementos con h distinto de cero.
- Interpreta el valor como pendiente y conserva unidades.
Relaciona representación y significadoPrueba otro caso
Relaciona cada comportamiento con su descripción.
Asocia cada situación local con su evidencia.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Laterales finitos iguales y valor igual a ellos → Continuidad en el punto; Laterales finitos iguales pero sin valor definido → Hueco removible; Laterales finitos diferentes → Salto entre lados
Se distinguen tres datos: comportamiento izquierdo, derecho y valor puntual.
Respuesta: Tangente horizontal → Derivada nula; Pendiente tangente dirigida hacia arriba → Derivada positiva; Pendientes laterales finitas diferentes en una esquina → Derivada bilateral inexistente
El sentido y la coincidencia de pendientes decide el comportamiento local.
Decide y justificaPrueba otro caso
Si los límites laterales son 2 y 5, ¿existe un límite bilateral real?
Si f(a)=7 y f′(a)=−2, ¿qué significa −2?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Los límites laterales diferentes impiden el bilateral. — Para el bilateral deben coincidir los dos límites laterales.
Un límite bilateral exige coincidencia de los dos límites laterales.
Respuesta: Pendiente local negativa. — La derivada −2 es la pendiente local; la altura sigue siendo siete.
La derivada informa cambio y no sustituye la ordenada siete.
Detecta el primer errorPrueba otro caso
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. f(x)=(x²−49)/(x−7), x≠7.
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. s(t)=t²+2 en metros.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: La fórmula original ya tiene valor catorce en siete. → La fórmula original no está definida en siete.
Simplificar fuera del punto no devuelve una entrada excluida del dominio original.
Respuesta: La velocidad es once metros por segundo por copiar posición. → La velocidad es s′(3)=6 m/s.
Se deriva el cambio, no se copia la altura de la gráfica.
Integra y comprueba
Para f(x)=(x²−25)/(x−5), x≠5, encuentra el límite en cinco y explica cómo extenderla continuamente.
Solución accesible sin interacción
- Respeta las restricciones del caso.
- Presenta resultado compatible con datos y unidades.
- Justifica procedimiento y contrasta la conclusión.
Respuesta: Fuera de cinco, f=x+5; el límite es diez. La extensión define f(5)=10; el valor no estaba en la fórmula original.
Fuera de cinco, f=x+5; el límite es diez. La extensión define f(5)=10; el valor no estaba en la fórmula original.
Compruébalo ahora
Calcula lim (x²−36)/(x−6) para x→6.
Ver solución explicada
Respuesta: 12
Fuera del punto coincide con x+6, que se aproxima a doce.
Para f=x², da f′(−2).
Ver solución explicada
Respuesta: -4
La derivada dos x vale menos cuatro en menos dos.
Laterales 4 y 9: ¿cuál es el límite bilateral?
Ver solución explicada
Respuesta: No existe por no coincidir los laterales.
La media de laterales no define un límite.
Una tangente pasa por (2,3) y tiene pendiente 4. Da y cuando x=2,5.
Ver solución explicada
Respuesta: 5
La subida es cuatro por media unidad: se suma dos a tres.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 11; DBA 5,7. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 11; DBA 3,5. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
Sigue por este pasillo
Practicar esto: Límites y aproximación sucesivaPracticar esto: Derivada: cambio instantáneo y tangenteDerivar para estudiar y optimizar