11.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar las representaciones y restricciones de derivar para estudiar y optimizar.
- Elegir y justificar procedimientos adecuados al caso.
- Contrastar resultados, errores y límites de la conclusión.
Antes de empezar
- Funciones y restricciones de dominio.
- Operaciones algebraicas y lectura de magnitudes con unidades.
Derivar para estudiar y optimizar
La derivada permite estudiar cómo varía una función, pero requiere reconocer su estructura. Potencias, sumas, productos y composiciones no se derivan mediante la misma operación. Una ruta alternativa, como expandir un producto, ayuda a contrastar el resultado.
Optimizar añade decisiones al cálculo: construir una función objetivo, fijar un dominio y comparar candidatos. Un punto de derivada cero puede ser máximo, mínimo o ninguno. En un intervalo cerrado se incluyen extremos; con conteos se comparan valores enteros admisibles.
- derivar optimizar
- Un punto crítico interior de una función derivable satisface f′=0. Es un candidato, cuya naturaleza se contrasta mediante signo de la derivada o comparación de valores.
Razonar antes de operar
- Construye la función objetivo con restricciones.
- Para funciones derivables, (fg)′=f′g+fg′ y (f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x). Reconoce la operación antes de aplicar la regla y contrasta expandiendo cuando sea posible.
- Identifica candidatos admisibles y extremos.
- Compara valores; si el dominio es entero, evalúa los enteros pertinentes.
Caso resuelto
Un rectángulo de perímetro 28 m tiene área A(x)=x(14−x). Encuentra el máximo con lados positivos.
- El dominio físico es 0<x<14.
- Expandir da 14x−x² y A′=14−2x.
- A′ se anula en siete; pasa de positiva a negativa, así que es máximo.
Lados 7 m y 7 m; área máxima 49 m².
Composición y comprobación por expansión
Deriva q(x)=(3x−2)² por cadena y comprueba por expansión.
- La función exterior eleva al cuadrado; su derivada en 3x−2 es 2(3x−2).
- La función interior es 3x−2 y su derivada es 3; la cadena da q′(x)=2(3x−2)·3.
- Expandir q(x)=9x²−12x+4 y derivar término a término da 18x−12.
q′(x)=6(3x−2)=18x−12; las dos rutas coinciden.
Óptimo con una cantidad entera
Maximiza J(n)=−n²+9n para n entero, con 0≤n≤9.
- El vértice del modelo continuo está en n=4,5, que no es un entero admisible.
- Completar el cuadrado da J(n)=20,25−(n−4,5)²; por ello conviene comparar los enteros más cercanos al vértice.
- J(4)=J(5)=20 y J(0)=J(9)=0; los demás enteros quedan más lejos del vértice y dan valores menores.
Los dos máximos enteros son n=4 y n=5, con valor 20. No se redondea sin comparar los enteros admisibles.
Distingue qué cambia
- Candidato
Derivada nula señala una entrada que hay que estudiar.
- Decisión óptima
La comparación y el dominio permiten afirmar qué valor responde al problema.
Un paso que cambia la conclusión
Para f=x³, cero es máximo porque su derivada se anula allí.
La derivada 3x² es positiva a ambos lados de cero; la función continúa creciendo y no tiene extremo local.
La derivada 3x² es positiva a ambos lados de cero; la función continúa creciendo y no tiene extremo local.
- Un punto crítico interior de una función derivable satisface f′=0. Es un candidato, cuya naturaleza se contrasta mediante signo de la derivada o comparación de valores.
- Construye la función objetivo con restricciones.
- Compara valores; si el dominio es entero, evalúa los enteros pertinentes.
Relaciona representación y significadoPrueba otro caso
Relaciona la forma de función con la regla que organiza la derivación.
Relaciona cambios de signo de f′ con el comportamiento local.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: f+g → Suma de las derivadas; f×g → Dos términos con factores alternados; f(g(x)) → Derivada exterior por derivada interior
La estructura original decide la regla y evita sustituir una por otra.
Respuesta: De positivo a negativo → Cumbre local; De negativo a positivo → Valle local; Positivo a ambos lados con cero aislado → Crecimiento sin extremo
El signo a cada lado decide si la función cambia de crecer a decrecer.
Decide y justificaPrueba otro caso
¿Cuál es la derivada de 4x³?
Para una caja con dimensiones positivas, ¿qué debe imponerse al dominio?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 12x² — Derivar multiplica cuatro por tres y reduce de tres a dos el exponente: 12x².
El exponente multiplica el coeficiente y disminuye en una unidad.
Respuesta: Positividad de todas las dimensiones. — Cada dimensión física de la caja debe resultar positiva.
El contexto restringe más que el dominio algebraico de la fórmula.
Detecta el primer errorPrueba otro caso
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. f(x)=(2x+1)³.
Localiza el primer paso incorrecto y sustitúyelo. f(x)=x² sobre [2;5].
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Derivo y escribo 3(2x+1)² sin factor interno. → La derivada es 6(2x+1)².
La cadena exige multiplicar por la derivada interna, que es dos.
Respuesta: Cero es el máximo admisible aunque no pertenezca al intervalo. → Cero no es admisible; el máximo ocurre en cinco.
El dominio y la comparación de candidatos forman parte de optimizar.
Integra y comprueba
Deriva f(x)=(x+1)(x²−2) por producto y por expansión; calcula f′(1).
Solución accesible sin interacción
- Respeta las restricciones del caso.
- Presenta resultado compatible con datos y unidades.
- Justifica procedimiento y contrasta la conclusión.
Respuesta: Producto: x²−2+2x(x+1). Expansión: f=x³+x²−2x−2 y f′=3x²+2x−2. Ambas coinciden; f′(1)=3.
Producto: x²−2+2x(x+1). Expansión: f=x³+x²−2x−2 y f′=3x²+2x−2. Ambas coinciden; f′(1)=3.
Compruébalo ahora
Para f=3x²−5x, da f′(2).
Ver solución explicada
Respuesta: 7
La derivada seis x menos cinco vale siete en dos.
Deriva (4x+1)².
Ver solución explicada
Respuesta: 8(4x+1)
Se multiplica la derivada exterior por el factor interno cuatro.
Maximiza −n²+7n para n entero de cero a siete.
Ver solución explicada
Respuesta: n=3 o n=4, con valor 12.
El vértice continuo 3,5 obliga a comparar ambos enteros adyacentes.
Para f=x² en [−4;2], da el máximo.
Ver solución explicada
Respuesta: 16
Comparar extremos y punto crítico da dieciséis, cuatro y cero.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 11; DBA 5,8. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 11; DBA 7,8. Evidencias seleccionadas; no acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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