El cambio necesita su intervalo

7.º gradoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Conserva duración y referencia temporal; la mayor cantidad no identifica el mayor ritmo.
Producir y contrastar decisiones con representaciones, datos y condiciones del caso.

Antes de empezar

Leer acumulados, restar y dividir fracciones.
Interpretar tiempo en minutos.

Qué cambia la decisión

Un registro acumulado informa cuánto se reunió hasta cada momento. Para saber lo reunido durante un intervalo se resta el acumulado inicial del final. Si los intervalos tienen distinta duración, comparar esos cambios absolutos puede llevar a una conclusión falsa sobre el ritmo. Se divide cada cambio entre su duración para obtener unidades por minuto.

En la tabla, el tiempo es una medida y no una simple posición de fila. Las observaciones a los 0, 2 y 6 minutos dejan intervalos de 2 y 4 minutos. Dos incrementos iguales se han producido durante tiempos distintos. Una gráfica que separa todas las filas igual ocultaría esa diferencia; una tabla con ambos extremos la conserva.

La tasa media de varios intervalos se obtiene del cambio total dividido entre la duración total. Promediar tasas por filas solo funciona cuando duran lo mismo. La tasa de todo un intervalo tampoco describe cada minuto: pueden existir pausas y aceleraciones dentro de él. Para afirmar ritmo constante se necesita una regla del caso o registros más detallados, no solo una división.

Define antes si el dato cuenta existencias acumuladas, producción de cada intervalo o cantidad que queda en un depósito. Una bajada en existencia puede venir de una retirada, no de producción negativa. En las recolecciones de esta página no hay salidas ni pérdidas. Cuando una condición falta, se plantea como pregunta o se limita la conclusión. Las tasas se expresan en unidades/min y las cantidades en unidades, evitando tratarlas como si fueran iguales.

Tasa media: Cambio de cantidad dividido entre duración del intervalo al que pertenece ese cambio.

Cómo elegir y comprobar

Comprueba si las cantidades son acumuladas y si hay entradas o salidas adicionales.
Calcula cada cambio y cada duración desde sus dos extremos.
Divide cambio entre duración; conserva las unidades por minuto.
Para el conjunto usa totales, y separa tasa media de constancia dentro de cada intervalo.

Un caso resuelto

Sin pérdidas ni salidas, un registro acumulado de fichas da 0 min: 0, 3 min: 12, 9 min: 30. Compara las tasas medias de los dos intervalos y la de toda la prueba.

Primero: 12 fichas en 3 min, tasa 4 fichas/min. Segundo: 18 en 6 min, tasa 3 fichas/min.
Aunque el segundo aporta más fichas, su tasa media es menor.
Toda la prueba: 30/9 = 10/3 fichas/min, exactamente. No se obtiene promediando 4 y 3 sin ponderar duraciones.

Tasas 4 y 3; tasa conjunta 10/3 fichas/min. No se acreditan ritmos constantes dentro de los intervalos.

Registro del ejemplo

Intervalo min	Cambio fichas	Duración min	Tasa fichas/min
0 a 3	12	3	4
3 a 9	18	6	3
0 a 9	30	9	10/3

Un error que podemos detectar

Dividir cada acumulado por su fila o por el tiempo final para estudiar el intervalo anterior.

Resta ambos extremos de tiempo y cantidad.

El acumulado final incluye lo ocurrido antes del intervalo que se quiere comparar.

Lo reunido en un intervalo es la resta de dos acumulados.
Comparar ritmos exige dividir cada cambio entre su propia duración.
La tasa de un tramo largo es cambio total entre duración total y no asegura un ritmo constante.

Relaciona datos y decisión

Sin pérdidas, una recolección acumulada registra 1 min: 5 piezas, 3 min: 15 y 8 min: 35. ¿Qué intervalo tiene mayor tasa media?

Elige una respuesta De 1 a 3: cinco piezas por minuto. Empatan: cinco piezas por minuto. El de 3 a 8: aporta veinte piezas.

Elige por qué

Solución accesible sin interacción

Respuesta: De 1 a 3: cinco piezas por minuto. — Calculo diferencias de acumulados y duraciones; diez en dos supera veinte en cinco minutos.

Tasas: (15−5)/(3−1) = 5 y (35−15)/(8−3) = 4 piezas/min.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones; consulta el modelo después de completar tu respuesta.

Solución accesible sin interacción

Dividir cada cambio entre la duración de su propio tramo.
Separar lo que el registro permite (una pausa dentro de 0 a 4) de lo que excluye (recolección entre 4 y 6).

Respuesta: Tasa media de 0 a 6: 12/6 = 2 piezas/min; Ana usó solo el tramo de 0 a 4 (12/4 = 3). De 4 a 6: (12 − 12)/2 = 0 piezas/min. La pausa entre los minutos 1 y 2 es posible, porque solo se conoce el total del tramo de 0 a 4. Entre 4 y 6 no se recogió ninguna pieza: sin salidas, el acumulado habría aumentado.

Tasa media de 0 a 6: 12/6 = 2 piezas/min; Ana usó solo el tramo de 0 a 4 (12/4 = 3). De 4 a 6: (12 − 12)/2 = 0 piezas/min. La pausa entre los minutos 1 y 2 es posible, porque solo se conoce el total del tramo de 0 a 4. Entre 4 y 6 no se recogió ninguna pieza: sin salidas, el acumulado habría aumentado.

Compruébalo ahora

Sin salidas ni pérdidas, a los minutos 2 y 5 el acumulado es 7 y 19 piezas. A los 11 minutos falta la anotación, pero se sabe que la tasa media del tramo de 2 a 11 fue 10/3 piezas/min. Recupera el acumulado faltante, calcula la tasa de 5 a 11 y decide en cuál de los dos intervalos cortos fue mayor la tasa. Da tasas exactas, sin redondear.
Ver solución explicada
- Recuperar el acumulado desde el cambio del tramo y su inicio.
- Comparar tasas locales con sus dos duraciones.
Respuesta: De 2 a 11 pasan 9 min y se reúnen 9×10/3 = 30 piezas: acumulado final 37. De 5 a 11: 18/6 = 3 piezas/min. De 2 a 5: 12/3 = 4; mayor el primero.
De 2 a 11 pasan 9 min y se reúnen 9×10/3 = 30 piezas: acumulado final 37. De 5 a 11: 18/6 = 3 piezas/min. De 2 a 5: 12/3 = 4; mayor el primero.
Una prueba sin salidas tiene dos etapas de tasa constante: 8 piezas/min durante 1 min y después 4 piezas/min. Nora propone que la segunda etapa dure 1 min para lograr una tasa media de 5 piezas/min en toda la prueba. Calcula la tasa media con su propuesta y decide qué duración de la segunda etapa da exactamente 5 piezas/min; comprueba la cantidad total.
Ver solución explicada
- Ponderar cada tasa por su duración.
- Obtener 6 con la propuesta y 3 min para la media 5, comprobando 20 piezas en 4 min.
Respuesta: Con 1 min en la segunda etapa: (8 + 4)/2 = 6 piezas/min, no 5. Si la segunda etapa dura t min, la tasa media es (8 + 4t)/(1 + t); vale 5 cuando 8 + 4t = 5 + 5t, es decir t = 3 min. Comprobación: 8 + 12 = 20 piezas en 4 min, 20/4 = 5.
Con 1 min en la segunda etapa: (8 + 4)/2 = 6 piezas/min, no 5. Si la segunda etapa dura t min, la tasa media es (8 + 4t)/(1 + t); vale 5 cuando 8 + 4t = 5 + 5t, es decir t = 3 min. Comprobación: 8 + 12 = 20 piezas en 4 min, 20/4 = 5.
Una prueba sin pérdidas empieza con 0 piezas a los 0 min y termina con 24 a los 6 min. Construye dos registros posibles para el minuto 2: uno con mayor tasa media en el primer intervalo y otro con mayor tasa en el segundo. Da acumulados enteros no negativos y las cuatro tasas exactas.
Ver solución explicada
- Mantener extremos y no disminuir el acumulado.
- Dar dos repartos con orden de tasas opuesto y calcularlas.
Respuesta: Por ejemplo minuto 2: 12 piezas da tasas 6 y 3. Otro registro minuto 2: 4 da tasas 2 y 5. Ambos terminan 24 a 6; se admiten otros acumulados de 0 a 24 con las desigualdades pedidas.
Por ejemplo minuto 2: 12 piezas da tasas 6 y 3. Otro registro minuto 2: 4 da tasas 2 y 5. Ambos terminan 24 a 6; se admiten otros acumulados de 0 a 24 con las desigualdades pedidas.
Un registro acumulado de una recolección sin salidas ni pérdidas marca 0 piezas a los 0 min, 12 a los 4 min y 12 a los 6 min. Ana afirma que la tasa media de toda la prueba es 3 piezas/min. Corrige su tasa, calcula la del tramo de 4 a 6 min y decide, para cada afirmación, si es compatible con los datos o si los datos la descartan: «entre los minutos 1 y 2 hubo una pausa» y «entre los minutos 4 y 6 se recogieron piezas».
Ver solución explicada
- Dividir cada cambio entre la duración de su propio tramo.
- Separar lo que el registro permite (una pausa dentro de 0 a 4) de lo que excluye (recolección entre 4 y 6).
Respuesta: Tasa media de 0 a 6: 12/6 = 2 piezas/min; Ana usó solo el tramo de 0 a 4 (12/4 = 3). De 4 a 6: (12 − 12)/2 = 0 piezas/min. La pausa entre los minutos 1 y 2 es posible, porque solo se conoce el total del tramo de 0 a 4. Entre 4 y 6 no se recogió ninguna pieza: sin salidas, el acumulado habría aumentado.
Tasa media de 0 a 6: 12/6 = 2 piezas/min; Ana usó solo el tramo de 0 a 4 (12/4 = 3). De 4 a 6: (12 − 12)/2 = 0 piezas/min. La pausa entre los minutos 1 y 2 es posible, porque solo se conoce el total del tramo de 0 a 4. Entre 4 y 6 no se recogió ninguna pieza: sin salidas, el acumulado habría aumentado.

Alineación curricular y fuentes

DBA Matemáticas V.2 (2016), grado 7, DBA 7, página impresa y PDF 56. Desarrollo editorial parcial de sus evidencias; no cobertura anual ni adscripción oficial de los EBC de banda a un único grado. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2

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