Redistribuir lados sin cambiar el borde

7.º gradoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Relaciona cambios opuestos de lados con un máximo discreto y con simetría de las parejas.
Producir y contrastar decisiones con representaciones, datos y condiciones del caso.

Antes de empezar

Calcular área y perímetro de un rectángulo.
Enumerar enteros positivos de una suma fija.

Qué cambia la decisión

Un rectángulo puede conservar el perímetro mientras cambia su área. Si su largo aumenta y su ancho disminuye la misma longitud, la suma de los lados se conserva. El producto puede aumentar, disminuir o coincidir con otro caso. La decisión depende de los dos lados, no del aumento de uno aislado.

Con perímetro 28 cm, largo más ancho vale 14 cm. Las parejas positivas 3 y 11, 4 y 10, 5 y 9, 6 y 8, 7 y 7 producen áreas diferentes. Intercambiar largo y ancho conserva la figura hasta un giro y su producto. Por eso dos parejas invertidas no constituyen dos áreas distintas. Una tabla de parejas permite comparar sin resolver ecuaciones de segundo grado.

Acercar dos lados distintos entre sí, manteniendo su suma, aumenta el producto hasta el cuadrado. Para comprobarlo en un dominio entero pequeño se enumeran todas las parejas; basta recorrer hasta el centro porque las demás repiten productos. Esto no obliga a excluir cuadrados de los rectángulos: aquí un cuadrado es un rectángulo con lados iguales. Si la consigna impone largo mayor que ancho, ese caso se excluye por una condición del problema.

Un perímetro conocido deja varias áreas posibles. Una dimensión adicional o una condición sobre la forma puede seleccionar un caso. Para examinar una afirmación, intenta dos parejas que respeten el mismo borde y calcula sus productos. No confundas un máximo dentro de una lista de lados enteros con un máximo bajo otras restricciones. Conserva cm para borde y cm² para superficie.

Redistribuir con perímetro fijo: Cambiar largo y ancho sin alterar su suma, que es la mitad del perímetro; su producto, el área, puede cambiar.

Cómo elegir y comprobar

Divide el perímetro entre dos para fijar la suma de los lados.
Aplica las condiciones de positividad, enteros o desigualdad de lados.
Enumera parejas o transforma ambos lados; compara productos en cm².
Revisa el perímetro de cada plan y busca parejas invertidas o casos excluidos antes de anunciar un máximo.

Un caso resuelto

Un marco tiene perímetro 24 cm y lados enteros positivos. Compara todas sus formas hasta intercambiar largo y ancho. ¿Qué forma encierra mayor área si se admiten cuadrados?

La suma de lados es 12. Las parejas hasta el centro son 1 y 11; 2 y 10; 3 y 9; 4 y 8; 5 y 7; 6 y 6.
Sus áreas son 11; 20; 27; 32; 35 y 36 cm². Las parejas invertidas repiten esos valores.
El máximo de este dominio es 36 cm², con 6×6; su perímetro es 24 cm.

El cuadrado es admisible y da 36 cm²; no se deduce el área únicamente del perímetro.

Registro del ejemplo

Lados cm	Perímetro cm	Área cm²
1 y 11	24	11
2 y 10	24	20
3 y 9	24	27
4 y 8	24	32
5 y 7	24	35
6 y 6	24	36

Un error que podemos detectar

Duplicar el largo y declarar el mismo perímetro sin revisar el ancho.

Conserva la suma de ambos lados.

Un solo lado no determina ni borde ni área; el compañero debe ajustarse según la condición.

Con perímetro fijo, la suma de largo y ancho no cambia, pero el área sí.
Al acercar los lados manteniendo su suma, el área crece hasta el cuadrado.
Las condiciones del caso, como lados enteros o largo mayor que ancho, deciden qué parejas cuentan.

Relaciona datos y decisión

Un rectángulo de 9×3 cm se rediseña como 8×4 cm. ¿Cómo cambian su borde y su área?

Solución accesible sin interacción

Respuesta: El borde permanece; el área sube 5 cm². — Las sumas de lados coinciden, pero los productos de ambas parejas difieren.

Ambos perímetros son 24 cm; áreas 27 y 32 cm². El cambio de área es +5.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones; consulta el modelo después de completar tu respuesta.

Solución accesible sin interacción

Reconstruir la fila desde el dominio completo.
Distinguir recuperar una pareja de evaluar si el máximo llega al umbral.

Respuesta: Parejas 11 y 2; 10 y 3; 9 y 4; 8 y 5; 7 y 6 dan 22; 30; 36; 40 y 42 cm². La fila es largo 8 y ancho 5. El máximo es 42 cm², con 7×6: sí alcanza 42.

Parejas 11 y 2; 10 y 3; 9 y 4; 8 y 5; 7 y 6 dan 22; 30; 36; 40 y 42 cm². La fila es largo 8 y ancho 5. El máximo es 42 cm², con 7×6: sí alcanza 42.

Compruébalo ahora

Un rectángulo mide 10×4 m. Se aumenta el ancho en 2 m conservando el perímetro. Obtén el nuevo largo, las dos áreas y la variación de área. Da valores enteros con sus unidades.
Ver solución explicada
- Ajustar el largo según la suma fija.
- Distinguir variación de área de perímetro.
Respuesta: Suma de lados 14: ancho nuevo 6 y largo 8 m. Áreas 40 y 48 m², aumento 8 m²; ambos perímetros son 28 m.
Suma de lados 14: ancho nuevo 6 y largo 8 m. Áreas 40 y 48 m², aumento 8 m²; ambos perímetros son 28 m.
Un diseño exige perímetro 18 cm, lados enteros positivos y ancho de al menos 2 cm. Rita propone 8×1 como área mínima. Repara el mínimo: enumera las parejas admitidas, contando una figura girada una sola vez, y da el área mínima. Se puede llamar ancho al lado menor.
Ver solución explicada
- Respetar ancho menor de al menos 2 y suma 9.
- Enumerar y obtener el mínimo del dominio pedido.
Respuesta: Parejas 7×2, 6×3 y 5×4; áreas 14; 18 y 20 cm². El mínimo es 14 cm² con 7×2; 8×1 incumple ancho mínimo.
Parejas 7×2, 6×3 y 5×4; áreas 14; 18 y 20 cm². El mínimo es 14 cm² con 7×2; 8×1 incumple ancho mínimo.
Construye dos rectángulos con perímetro 32 cm y lados enteros positivos, no congruentes entre sí y con áreas distintas. Uno debe tener ancho 3 cm. Calcula sus áreas y comprueba ambos perímetros.
Ver solución explicada
- Conservar suma 16 y el ancho 3 en uno.
- Producir una segunda forma no congruente con área distinta y verificar borde.
Respuesta: Por ejemplo 13×3 y 10×6 cm. Áreas 39 y 60 cm²; ambos perímetros 32 cm. No son la misma pareja girada. Cualquier segunda pareja admisible no congruente con 13×3 y de área distinta sirve.
Por ejemplo 13×3 y 10×6 cm. Áreas 39 y 60 cm²; ambos perímetros 32 cm. No son la misma pareja girada. Cualquier segunda pareja admisible no congruente con 13×3 y de área distinta sirve.
Una tabla de rectángulos de perímetro 26 cm registra lados enteros positivos, largo al menos igual al ancho y ancho de 2 a 6 cm. Una fila de área 40 cm² perdió sus lados. Recupera esa fila y usa la tabla de todas las parejas para decidir si el área máxima alcanza 42 cm².
Ver solución explicada
- Reconstruir la fila desde el dominio completo.
- Distinguir recuperar una pareja de evaluar si el máximo llega al umbral.
Respuesta: Parejas 11 y 2; 10 y 3; 9 y 4; 8 y 5; 7 y 6 dan 22; 30; 36; 40 y 42 cm². La fila es largo 8 y ancho 5. El máximo es 42 cm², con 7×6: sí alcanza 42.
Parejas 11 y 2; 10 y 3; 9 y 4; 8 y 5; 7 y 6 dan 22; 30; 36; 40 y 42 cm². La fila es largo 8 y ancho 5. El máximo es 42 cm², con 7×6: sí alcanza 42.

Alineación curricular y fuentes

DBA Matemáticas V.2 (2016), grado 7, DBA 6, página impresa y PDF 56. Desarrollo editorial parcial de sus evidencias; no cobertura anual ni adscripción oficial de los EBC de banda a un único grado. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2

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