7.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distingue tres acciones sobre una razón y reconstruye el total antes de calcular una adición.
- Producir y contrastar decisiones con representaciones, datos y condiciones del caso.
Antes de empezar
- Operar con fracciones y equivalencias exactas.
- Calcular parte de una cantidad y razón parte/total.
Qué cambia la decisión
Una razón entre parte y total pertenece a una mezcla concreta. En estos casos se mezclan, sin pérdidas, volúmenes de concentrado y agua que se suman exactamente. La razón concentrado/total no se suma cuando se juntan dos recipientes: se suman cantidades de concentrado y cantidades totales, y después se divide.
El mismo porcentaje en recipientes de tamaños distintos puede combinarse sin cambiar la razón. Porcentajes distintos también pueden producir una mezcla intermedia, pero el recipiente mayor pesa más en el resultado. La media simple de los porcentajes solo sirve al juntar volúmenes totales iguales. Mantener visible la tabla parte/total permite decidir cuándo es legítima esa simplificación.
Añadir agua conserva la cantidad de concentrado y aumenta el total; la razón disminuye. Retirar una porción de mezcla homogénea retira concentrado y agua en la misma proporción; la razón se conserva aunque disminuyan ambos volúmenes. Añadir concentrado cambia numerador y denominador. Cada acción exige su propio registro, y dos resultados de igual volumen pueden tener proporciones diferentes.
Para recuperar cuánta agua añadir, fija primero la parte que permanece. Si hay 2 L de concentrado y se quiere la quinta parte del total, ese total debe ser 10 L. Solo entonces se compara con el volumen que ya había. No se inventan valores negativos ni se aplica una pauta de dilución a la extracción de una porción. Con algunos líquidos reales los volúmenes no se suman exactamente; en estos casos sí se suman.
- Razón de la mezcla
- Volumen de concentrado dividido entre el volumen total; necesita una base explícita.
Cómo elegir y comprobar
- Registra concentrado, agua y total, con la misma unidad.
- Determina qué cantidad conserva la acción: parte, razón o ninguna de las dos.
- Suma cantidades antes de dividir o reconstruye el total requerido desde la parte fija.
- Comprueba que no haya pérdidas y que el resultado sea compatible con la acción y la unidad.
Un caso resuelto
A tiene 2 L de concentrado en 8 L totales y B 3 L en 6 L totales. Se unen sin pérdidas, con volúmenes aditivos. Calcula la razón conjunta y cuánta agua añadir para que quede 1/4.
- Concentrado conjunto 5 L y total 14 L: razón 5/14.
- Para que 5 L sean 1/4 del total, el total debe ser 20 L.
- Se añaden 20−14 = 6 L de agua; comprobación 5/20 = 1/4.
La razón conjunta es 5/14; se requieren 6 L de agua, sin usar la media simple de las dos razones.
Registro del ejemplo
| Recipiente | Concentrado L | Total L | Razón |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 8 | 1/4 |
| B | 3 | 6 | 1/2 |
| Unión | 5 | 14 | 5/14 |
Un error que podemos detectar
Promediar dos porcentajes ignorando el volumen de cada recipiente.
Suma partes y totales de la tabla.
Cada litro cuenta en el denominador; dos recipientes no implican dos pesos iguales.
- Al juntar mezclas se suman concentrados y totales; las razones no se suman ni se promedian sin pesos.
- Añadir agua conserva el concentrado; retirar mezcla homogénea conserva la razón.
- Para diluir hasta una razón, el concentrado que permanece determina el total que hay que alcanzar.
Relaciona datos y decisiónPrueba otro caso
Una mezcla homogénea contiene 2 L de concentrado y 6 L de agua. Se retiran 4 L de mezcla, sin agregar nada. ¿Qué queda?
Hay 3 L de concentrado en 9 L de mezcla. Se añade solo agua, sin pérdidas, hasta dejar el concentrado en 1/4 del total. ¿Cuánta agua se añade?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Quedan 1 L de concentrado y 4 L de mezcla. — Retirar la mitad de una mezcla homogénea retira la mitad de cada componente.
Razón inicial 2/8 = 1/4. Quedan 4 L con 1 L de concentrado y 3 de agua.
Respuesta: 3 L, para pasar el total de nueve a doce. — El concentrado permanece y fija el total objetivo antes de calcular la diferencia.
El total objetivo es 3÷(1/4) = 12 L. Se añaden 12−9 = 3 L, sin retirar concentrado.
El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones; consulta el modelo después de completar tu respuesta.
Solución accesible sin interacción
- Mantener la razón 1/3 de la parte retirada y el volumen final de cada plan.
- Obtener 1,5 L para A y 2 L para B, y comparar 6 L con 8 L.
Respuesta: B: con 4 L de agua, la razón 1/2 exige 4 L de concentrado; añade 2 L y termina con 8 L. A: debe terminar con 3 L de concentrado en 6 L. Cada litro retirado lleva 1/3 L de concentrado y se repone con 1 L de concentrado, así que gana 2/3 L por litro cambiado; para ganar 1 L cambia 1,5 L. A retira 1,5 L y añade 1,5 L de concentrado. B termina con más volumen: 8 L frente a 6 L.
B: con 4 L de agua, la razón 1/2 exige 4 L de concentrado; añade 2 L y termina con 8 L. A: debe terminar con 3 L de concentrado en 6 L. Cada litro retirado lleva 1/3 L de concentrado y se repone con 1 L de concentrado, así que gana 2/3 L por litro cambiado; para ganar 1 L cambia 1,5 L. A retira 1,5 L y añade 1,5 L de concentrado. B termina con más volumen: 8 L frente a 6 L.
Compruébalo ahora
A contiene 1 L de concentrado en 5 L totales. Se añadirá mezcla B, de razón de concentrado 1/2, sin pérdidas y con volúmenes aditivos. Solo hay tres planes: añadir 2 L, 4 L o 6 L de B. Se exige razón final de al menos 1/3 y volumen total que no supere 10 L. Calcula razón y volumen de cada plan, y elige el menor aporte de B que cumple ambas condiciones. Da fracciones exactas, sin redondear.
Ver solución explicada
- Actualizar concentrado y total en los tres planes.
- Aplicar simultáneamente los límites de razón y volumen y escoger 4 L.
Respuesta: Añadir 2: concentrado 2, total 7, razón 2/7 < 1/3. Añadir 4: concentrado 3, total 9, razón 1/3; cumple. Añadir 6: concentrado 4, total 11, razón 4/11 ≥ 1/3, pero excede 10 L. El menor plan admitido es 4 L de B.
Añadir 2: concentrado 2, total 7, razón 2/7 < 1/3. Añadir 4: concentrado 3, total 9, razón 1/3; cumple. Añadir 6: concentrado 4, total 11, razón 4/11 ≥ 1/3, pero excede 10 L. El menor plan admitido es 4 L de B.
Una mezcla homogénea contiene 4 L de concentrado en 10 L totales. Luz retira 4 L de mezcla, añade 4 L de agua y anuncia que la razón vuelve a ser 4/10 porque el total vuelve a 10 L. Repara el concentrado final y la razón. Después decide cuánto concentrado y cuánta agua, 4 L en total, habría que añadir tras la retirada para recuperar 4/10.
Ver solución explicada
- Retirar concentrado en la misma proporción que la mezcla.
- Obtener 6/25 y repartir los 4 L añadidos en 1,6 L de concentrado y 2,4 L de agua.
Respuesta: Al retirar 4 de 10 L sale 4/10 de cada componente: quedan 2,4 L de concentrado en 6 L. Con 4 L de agua la razón es 2,4/10 = 6/25, no 4/10. Para volver a 4 L de concentrado en 10 L hay que añadir 1,6 L de concentrado y 2,4 L de agua.
Al retirar 4 de 10 L sale 4/10 de cada componente: quedan 2,4 L de concentrado en 6 L. Con 4 L de agua la razón es 2,4/10 = 6/25, no 4/10. Para volver a 4 L de concentrado en 10 L hay que añadir 1,6 L de concentrado y 2,4 L de agua.
Dos recipientes tienen razones de concentrado 1/4 y 3/4. No se conocen sus tamaños; no hay pérdidas y los volúmenes son aditivos. Construye un caso en que la unión tenga razón 1/2 y otro en que tenga razón 3/8. Da volúmenes totales y de concentrado de ambos recipientes en cada caso.
Ver solución explicada
- Conservar 1/4 y 3/4 en cada caso.
- Construir totales diferentes que produzcan exactamente las dos metas.
Respuesta: Para 1/2: totales 4 y 4 L, concentrados 1 y 3 L; 4/8 = 1/2. Para 3/8: totales 6 y 2 L, concentrados 1,5 y 1,5 L; 3/8. Se admiten múltiplos positivos u otras cantidades que cumplan ambas razones y las metas.
Para 1/2: totales 4 y 4 L, concentrados 1 y 3 L; 4/8 = 1/2. Para 3/8: totales 6 y 2 L, concentrados 1,5 y 1,5 L; 3/8. Se admiten múltiplos positivos u otras cantidades que cumplan ambas razones y las metas.
Una mezcla tiene 2 L de concentrado y 4 L de agua. Plan A: retirar una parte de la mezcla homogénea y después añadir solo concentrado hasta volver a 6 L. Plan B: añadir solo concentrado, sin retirar nada. Los dos deben terminar con razón 1/2. Calcula cuánto retira y añade A, cuánto añade B y decide cuál termina con más volumen.
Ver solución explicada
- Mantener la razón 1/3 de la parte retirada y el volumen final de cada plan.
- Obtener 1,5 L para A y 2 L para B, y comparar 6 L con 8 L.
Respuesta: B: con 4 L de agua, la razón 1/2 exige 4 L de concentrado; añade 2 L y termina con 8 L. A: debe terminar con 3 L de concentrado en 6 L. Cada litro retirado lleva 1/3 L de concentrado y se repone con 1 L de concentrado, así que gana 2/3 L por litro cambiado; para ganar 1 L cambia 1,5 L. A retira 1,5 L y añade 1,5 L de concentrado. B termina con más volumen: 8 L frente a 6 L.
B: con 4 L de agua, la razón 1/2 exige 4 L de concentrado; añade 2 L y termina con 8 L. A: debe terminar con 3 L de concentrado en 6 L. Cada litro retirado lleva 1/3 L de concentrado y se repone con 1 L de concentrado, así que gana 2/3 L por litro cambiado; para ganar 1 L cambia 1,5 L. A retira 1,5 L y añade 1,5 L de concentrado. B termina con más volumen: 8 L frente a 6 L.
Alineación curricular y fuentes
- DBA Matemáticas V.2 (2016), grado 7, DBA 1, página impresa y PDF 53. Desarrollo editorial parcial de sus evidencias; no cobertura anual ni adscripción oficial de los EBC de banda a un único grado. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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