Cuando el depósito llega a su límite

8.º gradoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Separa pérdida irreversible y estado actual, y reconoce que capacidad observada no determina un tiempo único.
Producir y contrastar decisiones con representaciones, datos y condiciones del caso.

Antes de empezar

Modelos lineales con tasa e inicio.
Balance de entradas y salidas en litros.

Qué cambia la decisión

Una regla de cambio puede predecir más cantidad de la que cabe. En un depósito con límite, hay que distinguir volumen recibido, volumen almacenado y volumen desbordado. Si entra agua a tasa constante sin salidas, el volumen sin límite sería inicial más tasa por tiempo. La capacidad impide almacenar valores superiores: el exceso se pierde por desbordamiento, según las condiciones de cada caso.

Antes de llenarse, el volumen almacenado sigue la regla lineal. Una vez lleno y mientras continúe la entrada sin salida, permanece en la capacidad. Eso no significa que deje de recibir agua. La diferencia entre el volumen que habría sin límite y la capacidad da el desbordamiento acumulado. Se compara con cero para no inventar un desbordamiento negativo antes de llenarse.

Leer capacidad al final no identifica por sí solo cuánto entró: varias entradas distintas pueden haber llenado y desbordado el mismo depósito. Para reconstruir entrada total hace falta registrar también desbordamiento y cualquier salida. La relación entre tiempo y almacenamiento deja de permitir recuperar un tiempo único cuando la cantidad observada es la capacidad. En ese tramo se conserva un límite, no una única duración.

Si se retira agua y después continúa el llenado, empieza un intervalo con un estado inicial nuevo. Se calculan los tramos en orden: no se puede compensar una pérdida anterior de desbordamiento restando una retirada posterior. El agua que ya salió no regresa al depósito. En cada caso se indican las entradas y las retiradas, y no hay otros cambios: no se cuenta la evaporación ni un caudal que varíe.

Saturación del depósito: Estado en que el almacenamiento alcanza su capacidad y una entrada adicional produce desbordamiento bajo las condiciones indicadas.

Cómo elegir y comprobar

Separa capacidad, volumen inicial, entradas y retiradas por intervalo.
Calcula el volumen que habría sin límite y compáralo con la capacidad.
Registra por separado almacenamiento y desbordamiento, sin valores negativos de pérdida.
Tras cada retirada inicia otro tramo; comprueba el balance total y los tiempos compatibles.

Un caso resuelto

Un depósito de 30 L empieza con 6 L; entra agua a 4 L/min durante 8 min, sin retiradas ni otras pérdidas. Tras llenarse, todo exceso desborda. Obtén tiempo de llenado, almacenamiento final y desbordamiento.

Faltan 30−6 = 24 L: se llena en 24/4 = 6 min.
En 8 min recibe 32 L; sin límite habría 38 L.
Almacena 30 L y desbordan 38−30 = 8 L. Balance: 6+32 = 30+8.

Se llena a los 6 min; después de 8 min almacena 30 L y ha desbordado 8 L.

Registro del ejemplo

Tiempo min	Sin límite L	Almacenado L	Desbordado L
0	6	6	0
6	30	30	0
8	38	30	8

Un error que podemos detectar

Extender el almacenamiento lineal después del llenado.

Aplica el límite y registra el excedente como salida.

Recibido y almacenado dejan de ser iguales al desbordar; perder el excedente rompe el balance.

Hasta llenarse, el volumen sigue la regla lineal; después se queda en la capacidad y el resto desborda.
Ver el depósito lleno no fija cuánto entró ni cuánto tiempo pasó.
Tras una retirada empieza un tramo nuevo: el agua desbordada no vuelve.

Relaciona datos y decisión

Un depósito de capacidad 20 L empieza con 5 L. Recibe 3 L/min durante 7 min, sin otras salidas; el exceso desborda. ¿Cuál es el resultado al final?

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Almacena 20 L y desbordan 6 L. — Sumo entrada e inicio; separo capacidad y volumen desbordado.

5+3×7 = 26 L sin límite: 20 almacenados y 6 desbordados.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones; consulta el modelo después de completar tu respuesta.

Solución accesible sin interacción

Probar la factibilidad del retiro previo con el agua disponible.
Identificar inexistencia del plan previo y construir el posterior con seis retirados y seis desbordados.

Respuesta: Antes: retirar 6 deja 2; al entrar 30 llega 32; eso no deja 26. Para terminar 26 antes habría que retirar 12, imposible porque solo hay 8. Por tanto no existe plan antes con las condiciones dadas. Después: entra 30, se pierden 6 y quedan 32; retirar 6 deja 26. Es el único retiro posterior que da 26. Balance 8+30 = 26+6+6.

Antes: retirar 6 deja 2; al entrar 30 llega 32; eso no deja 26. Para terminar 26 antes habría que retirar 12, imposible porque solo hay 8. Por tanto no existe plan antes con las condiciones dadas. Después: entra 30, se pierden 6 y quedan 32; retirar 6 deja 26. Es el único retiro posterior que da 26. Balance 8+30 = 26+6+6.

Compruébalo ahora

Un depósito de 18 L parte de 6 L y recibe 4 L/min durante 5 min. El exceso desborda. Se detiene la entrada, se retiran 7 L y después se añaden 5 L, sin otras entradas o salidas. Obtén almacenamiento final, desbordamiento total y comprueba el balance en L enteros.
Ver solución explicada
- Aplicar el límite antes de la retirada posterior.
- Conservar el desbordamiento y verificar el balance total.
Respuesta: Primer tramo: 26 L sin límite, 18 guardados y 8 perdidos. Tras retirar 7 quedan 11; añadir 5 deja 16. Balance: 6+20+5 = 16+8+7 = 31 L.
Primer tramo: 26 L sin límite, 18 guardados y 8 perdidos. Tras retirar 7 quedan 11; añadir 5 deja 16. Balance: 6+20+5 = 16+8+7 = 31 L.
Un depósito de 25 L empieza con 10 L y recibe 20 L en un primer tramo. Después se retiran 8 L y se añaden 6 L. Todo exceso desborda en el momento de entrar; no hay otros cambios. Lina suma 10+20−8+6 = 28 y anuncia 25 L guardados y 3 L perdidos. Repara ambas cantidades y señala el tramo que su cuenta oculta.
Ver solución explicada
- Registrar pérdida de cinco en el primer tramo.
- Obtener final veintitrés y comprobar el balance sin reingreso ficticio.
Respuesta: Primero 30: guarda 25 y pierde 5. Retirar 8 deja 17; añadir 6 deja 23. Final 23 L y pérdida 5 L. Balance 10+20+6 = 23+8+5 = 36 L; no se recupera el desbordamiento anterior.
Primero 30: guarda 25 y pierde 5. Retirar 8 deja 17; añadir 6 deja 23. Final 23 L y pérdida 5 L. Balance 10+20+6 = 23+8+5 = 36 L; no se recupera el desbordamiento anterior.
Un depósito de 40 L empezó con 12 L. Recibió agua, sin retiradas ni otras pérdidas aparte del desbordamiento. Al final está lleno. Primero construye dos entradas totales distintas compatibles y calcula lo desbordado en cada una. Luego, si se mide desbordamiento de 9 L, recupera la entrada exacta.
Ver solución explicada
- Construir entradas diferentes conservando la capacidad y el inicio.
- Recuperar treinta y siete al disponer de la pérdida adicional.
Respuesta: Por ejemplo entradas 28 y 37 L: pérdidas 0 y 9 L. La observación llena no las distingue. Con pérdida 9, entrada = 40+9−12 = 37 L. Se admiten otras entradas de 28 L o más para el primer apartado.
Por ejemplo entradas 28 y 37 L: pérdidas 0 y 9 L. La observación llena no las distingue. Con pérdida 9, entrada = 40+9−12 = 37 L. Se admiten otras entradas de 28 L o más para el primer apartado.
Un depósito de 32 L empieza con 8 L y recibirá 30 L de una vez; todo exceso desborda. No hay otros cambios. Puedes retirar agua inmediatamente antes de la entrada o inmediatamente después. Para cada momento decide primero si existe un retiro entero no negativo, limitado al agua que haya disponible, que deje 26 L al final. Si existe, da retirada y desbordamiento y comprueba el balance. Si no existe, muestra qué cantidad exigiría y por qué resulta imposible.
Ver solución explicada
- Probar la factibilidad del retiro previo con el agua disponible.
- Identificar inexistencia del plan previo y construir el posterior con seis retirados y seis desbordados.
Respuesta: Antes: retirar 6 deja 2; al entrar 30 llega 32; eso no deja 26. Para terminar 26 antes habría que retirar 12, imposible porque solo hay 8. Por tanto no existe plan antes con las condiciones dadas. Después: entra 30, se pierden 6 y quedan 32; retirar 6 deja 26. Es el único retiro posterior que da 26. Balance 8+30 = 26+6+6.
Antes: retirar 6 deja 2; al entrar 30 llega 32; eso no deja 26. Para terminar 26 antes habría que retirar 12, imposible porque solo hay 8. Por tanto no existe plan antes con las condiciones dadas. Después: entra 30, se pierden 6 y quedan 32; retirar 6 deja 26. Es el único retiro posterior que da 26. Balance 8+30 = 26+6+6.

Alineación curricular y fuentes

DBA Matemáticas V.2 (2016), grado 8, DBA 10, página impresa y PDF 64. Desarrollo editorial parcial de sus evidencias; no cobertura anual ni adscripción oficial de los EBC de banda a un único grado. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2

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