Igual volumen, distinta superficie

8.º gradoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Controla compensaciones de dimensiones, seis caras y alcance de una decisión con capacidad fija.
Producir y contrastar decisiones con representaciones, datos y condiciones del caso.

Antes de empezar

Área rectangular y volumen de un prisma.
Multiplicar y sumar expresiones con dimensiones positivas.

Qué cambia la decisión

El volumen de un prisma rectangular se obtiene con largo por ancho por alto. Su área exterior total reúne seis caras: dos de cada pareja de dimensiones. En un modelo de caja cerrada con espesor despreciable, V = largo×ancho×alto y S = 2×(largo×ancho+largo×alto+ancho×alto). Unidades cm³ y cm² distinguen interior y recubrimiento.

Dos cajas de igual volumen pueden tener superficies distintas. Conservar el producto de tres dimensiones no conserva la suma de los tres productos por parejas. Para elegir una caja que gaste menos recubrimiento hace falta comparar S, no solo V. Aquí no se incluyen pestañas, desperdicios de corte ni espesores; la superficie geométrica todavía no es el costo real de fabricar la caja.

Si una dimensión se duplica y otra se divide entre dos, con la tercera fija, el volumen se mantiene. Algunas caras se agrandan, otras se reducen y otra pareja puede conservarse. Esa compensación permite construir casos de igual capacidad sin semejanza: no existe un factor común para las tres dimensiones. Por eso no se usa automáticamente un factor cuadrático de área propio de una ampliación uniforme.

Las condiciones del problema determinan qué diseños se admiten. Un volumen y dos dimensiones positivas fijan la tercera por división; un volumen solo deja muchas cajas. Al comparar una lista finita puedes decidir su mejor plan, pero no afirmar que sea la mejor caja de todas las dimensiones posibles. Expresa ese límite y verifica cada dimensión antes de contar caras. Las cajas abiertas tendrían otra superficie: cuando una caja no tiene tapa, el enunciado lo dice.

Área exterior total del prisma cerrado: Suma de las seis caras, organizada como dos veces cada producto de dimensiones por parejas.

Cómo elegir y comprobar

Registra si la caja es abierta o cerrada y qué dimensiones son interiores en el modelo sin espesor.
Verifica el volumen de cada plan y cualquier dimensión restringida.
Suma las caras realmente presentes, con unidades cuadradas.
Compara superficies entre los planes admitidos y limita la conclusión a ese conjunto.

Un caso resuelto

Se comparan cajas cerradas sin espesor, de 120 cm³. A: 10×4×3 cm y B: 5×4×6 cm. Comprueba volumen y decide cuál usa menos superficie geométrica.

A: 10×4×3 = 120; B: 5×4×6 = 120 cm³.
S_A = 2×(40+30+12) = 164 cm²; S_B = 2×(20+30+24) = 148 cm².
B usa 16 cm² menos en estos dos planes. No son semejantes: la razón entre los largos es 1/2 y entre los altos 2.

B tiene menor superficie entre las dos cajas; volumen igual no implica superficie igual.

Registro del ejemplo

Caja	Dimensiones cm	Volumen cm³	Superficie cm²
A	10×4×3	120	164
B	5×4×6	120	148

Un error que podemos detectar

Dar al recubrimiento el mismo valor que al volumen.

Calcula las caras por separado del producto de las tres dimensiones.

Los productos por parejas cuentan áreas; el producto triple cuenta volumen.

Igual volumen no significa igual superficie: V multiplica las tres dimensiones y S suma las seis caras.
Duplicar una dimensión y dividir otra entre dos conserva el volumen, pero cambia las caras.
Una comparación entre pocas cajas decide solo entre ellas, no entre todas las cajas posibles.

Relaciona datos y decisión

Dos cajas cerradas sin espesor, A: 8×3×3 cm y B: 6×4×3 cm, deben guardar 72 cm³. ¿Cuál comparación es válida?

Elige una respuesta Sus superficies coinciden al tener igual volumen. Ambas cumplen; B usa menos superficie exterior. Solo A cumple el volumen requerido.

Elige por qué

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Ambas cumplen; B usa menos superficie exterior. — Verifico el volumen y sumo las seis caras de cada caja.

Ambas tienen 72 cm³. S_A = 2(24+24+9) = 114; S_B = 2(24+18+12) = 108 cm². B usa 6 menos.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones; consulta el modelo después de completar tu respuesta.

Solución accesible sin interacción

Construir superficie con las parejas de dimensiones.
Resolver 6, verificar 108 y contrastar 5 sin confundirlo con el volumen.

Respuesta: S = 2(3x + 4x + 12) = 14x + 24. Para 108: 14x = 84, x = 6 cm; V 72. Con x = 5: S 94 cm², V 60; no cumple 108 aunque sea un volumen admisible.

S = 2(3x + 4x + 12) = 14x + 24. Para 108: 14x = 84, x = 6 cm; V 72. Con x = 5: S 94 cm², V 60; no cumple 108 aunque sea un volumen admisible.

Compruébalo ahora

Tres cajas cerradas sin espesor, de 96 cm³, son A: 8×4×3, B: 6×4×4, C: 12×4×2 cm. Un modelo de compra vende hojas de 50 cm² por 900 COP y solo admite hojas completas. Para este cálculo se supone aprovechamiento total de área, sin sobrantes de corte ni pestañas. Calcula las superficies de las tres cajas, las hojas mínimas y el pago para cada una. Decide, para A frente a B y para B frente a C, si la caja de menor superficie paga estrictamente menos; no necesitas comprobar patrones de corte.
Ver solución explicada
- Calcular las seis caras de cada caja.
- Aplicar hojas enteras y decidir cada comparación por separado.
Respuesta: Superficies: A 136, B 128 y C 160 cm². Hojas mínimas 3, 3 y 4; pagos 2 700, 2 700 y 3 600 COP. Entre A y B, B tiene menor superficie pero empatan en pago: no paga estrictamente menos. Entre B y C, B tiene menor superficie y paga 900 COP menos: sí.
Superficies: A 136, B 128 y C 160 cm². Hojas mínimas 3, 3 y 4; pagos 2 700, 2 700 y 3 600 COP. Entre A y B, B tiene menor superficie pero empatan en pago: no paga estrictamente menos. Entre B y C, B tiene menor superficie y paga 900 COP menos: sí.
Una caja abierta arriba y sin espesor mide 6×4×3 cm. Diego usa S = 2(24+18+12) = 108 cm² y llama al resultado superficie de material presente. Repara esa superficie y calcula su volumen. Indica qué cara había contado de más.
Ver solución explicada
- Conservar fondo y las cuatro paredes.
- Distinguir superficie 84 de volumen 72 y retirar solo la tapa.
Respuesta: Superficie abierta = 24+2×18+2×12 = 84 cm²; volumen 72 cm³. Sobró la tapa de 24 cm²; el fondo permanece.
Superficie abierta = 24+2×18+2×12 = 84 cm²; volumen 72 cm³. Sobró la tapa de 24 cm²; el fondo permanece.
Produce dos cajas cerradas sin espesor con lados enteros positivos, volumen 64 cm³ y superficies distintas. Una debe ser cúbica. Da dimensiones, comprueba volumen y calcula ambas superficies en cm².
Ver solución explicada
- Conservar volumen 64 y una caja cúbica.
- Producir otra caja y calcular correctamente las seis caras.
Respuesta: Cubo 4×4×4: V 64, S 96. Otra 8×4×2: V 64, S 112. Se admiten otras factorizaciones enteras con superficie distinta de 96.
Cubo 4×4×4: V 64, S 96. Otra 8×4×2: V 64, S 112. Se admiten otras factorizaciones enteras con superficie distinta de 96.
Una caja cerrada sin espesor tiene ancho 3 cm, altura 4 cm y volumen 12x cm³; x es entero positivo y representa el largo en cm. Se exige superficie exterior de exactamente 108 cm². Recupera x, verifica las seis caras y decide si x = 5 también cumpliría el requisito de superficie.
Ver solución explicada
- Construir superficie con las parejas de dimensiones.
- Resolver 6, verificar 108 y contrastar 5 sin confundirlo con el volumen.
Respuesta: S = 2(3x + 4x + 12) = 14x + 24. Para 108: 14x = 84, x = 6 cm; V 72. Con x = 5: S 94 cm², V 60; no cumple 108 aunque sea un volumen admisible.
S = 2(3x + 4x + 12) = 14x + 24. Para 108: 14x = 84, x = 6 cm; V 72. Con x = 5: S 94 cm², V 60; no cumple 108 aunque sea un volumen admisible.

Alineación curricular y fuentes

DBA Matemáticas V.2 (2016), grado 8, DBA 4, página impresa y PDF 60. Desarrollo editorial parcial de sus evidencias; no cobertura anual ni adscripción oficial de los EBC de banda a un único grado. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2

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