La altura de una barra necesita su amplitud

8.º gradoRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Relaciona área, altura y amplitud sin inventar un reparto dentro de las clases.
Producir y contrastar decisiones con representaciones, datos y condiciones del caso.

Antes de empezar

Leer intervalos y frecuencias agrupadas.
Interpretar cocientes y productos con unidades.

Qué cambia la decisión

En una tabla agrupada cada frecuencia cuenta datos dentro de una clase. Si las clases tienen la misma amplitud, sus alturas de frecuencia se pueden comparar directamente en un histograma. Con amplitudes distintas, un histograma que representa frecuencia por área usa altura igual a frecuencia dividida entre amplitud. La altura indica datos por unidad de intervalo, no el conteo total de la clase.

Una clase ancha puede contener más datos y tener menor altura que otra estrecha. Para recuperar la frecuencia se multiplica altura por amplitud. Los ejes deben decir qué mide cada uno: el horizontal mantiene las unidades de la variable y el vertical indica frecuencia por unidad. Comparar áreas permite comparar conteos; comparar alturas permite comparar concentración por unidad de intervalo.

Usa clases disjuntas y declara qué extremos se incluyen. En tiempos, escribir 0≤t<4 y 4≤t<12 asigna 4 una sola vez. Los datos de una clase ancha no se pueden repartir entre subclases sin conocer dónde caen. Una división uniforme dentro de la clase es un supuesto, no una consecuencia de la tabla. Para reagrupar sí se pueden sumar clases completas cuando sus extremos encajan.

La clase de mayor frecuencia no identifica un valor individual más frecuente ni determina exactamente una media. Cambiar la anchura de las clases puede cambiar qué barra es la más alta. Antes de interpretar un gráfico recupera frecuencias y tamaños: una altura igual en dos clases de amplitud diferente no representa igual número de observaciones. En los registros de esta página no falta ningún dato y los tiempos no son negativos; tampoco se supone que los datos se repartan por igual dentro de cada clase.

Altura de densidad del histograma: Frecuencia dividida entre amplitud; multiplicar esa altura por amplitud recupera el conteo de la clase.

Cómo elegir y comprobar

Lee límites y unidad de cada clase, con inclusión y exclusión explícitas.
Calcula amplitud y altura como frecuencia/amplitud.
Recupera conteos por altura×amplitud antes de comparar grupos.
No dividas una clase en subclases sin información adicional; suma únicamente clases completas.

Un caso resuelto

Un registro de tiempos en minutos agrupa 0≤t<3 con 6 datos y 3≤t<9 con 9. En un histograma de frecuencia por área, obtiene alturas y decide qué clase tiene más datos y cuál mayor altura.

Amplitudes 3 y 6 min. Alturas 6/3 = 2 y 9/6 = 1,5 datos/min.
El área de las barras recupera 6 y 9 datos; la segunda clase contiene más.
La primera tiene mayor altura: concentra más datos por minuto de amplitud, sin determinar un tiempo individual más frecuente.

Más datos en la segunda clase y mayor altura en la primera. Son comparaciones diferentes.

Registro del ejemplo

Clase min	Amplitud min	Frecuencia	Altura datos/min
0≤t<3	3	6	2
3≤t<9	6	9	1,5

Un error que podemos detectar

Leer una altura de densidad como si fuera frecuencia absoluta.

Multiplica cada altura por su propia amplitud.

Dos barras de igual altura pueden representar frecuencias distintas si sus bases difieren.

Con amplitudes distintas, la altura de una barra es frecuencia entre amplitud.
El área de la barra recupera el conteo; la altura mide concentración por unidad de intervalo.
Una clase no se reparte en subclases sin datos; solo se suman clases completas.

Relaciona datos y decisión

Una tabla completa de tiempos usa 0≤t<2 con 8 datos y 2≤t<8 con 12. Su histograma codifica frecuencia por área. ¿Qué interpretación procede?

Elige una respuesta Primera más alta; más datos en la segunda barra. Alturas 4 y 6; la segunda barra es más alta. Segunda barra más alta y con más datos.

Elige por qué

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Primera más alta; más datos en la segunda barra. — Divido cada frecuencia por su amplitud y conservo los conteos.

Alturas 8/2 = 4 y 12/6 = 2 datos/min. Frecuencias 8 y 12: dos órdenes distintos.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones; consulta el modelo después de completar tu respuesta.

Solución accesible sin interacción

Fijar clases disjuntas completas con amplitudes 2 y 8.
Producir frecuencias que sumen 20 con órdenes opuestos y comprobar alturas.

Respuesta: Por ejemplo 0≤t<2: 8 datos, altura 4; 2≤t<10: 12 datos, altura 1,5 datos/min. O 6 y 14 dan 3 y 1,75. Se admite toda primera frecuencia entera 5, 6, 7, 8 o 9, con la segunda igual a 20 menos la primera.

Por ejemplo 0≤t<2: 8 datos, altura 4; 2≤t<10: 12 datos, altura 1,5 datos/min. O 6 y 14 dan 3 y 1,75. Se admite toda primera frecuencia entera 5, 6, 7, 8 o 9, con la segunda igual a 20 menos la primera.

Compruébalo ahora

En un histograma de densidad de tiempos, las clases 0≤t<5 y 5≤t<15 tienen alturas 2 y 1,2 datos/min. Recupera frecuencias y total. Calcula la fracción exacta de datos con t≥5 y decide si la mayor altura identifica la mayoría del grupo.
Ver solución explicada
- Multiplicar cada altura por su amplitud.
- Obtener 6/11 y separar altura de mayoría de personas.
Respuesta: Frecuencias 10 y 12, total 22. Fracción 12/22 = 6/11. La altura mayor es de la primera, pero la segunda contiene la mayoría porque 12 > 11.
Frecuencias 10 y 12, total 22. Fracción 12/22 = 6/11. La altura mayor es de la primera, pero la segunda contiene la mayoría porque 12 > 11.
La tabla registra 0≤t<2 con 6 datos y 2≤t<6 con 8. Ana dibuja barras de alturas 6 y 8 y dice que sus áreas representan los conteos. Repara las alturas y calcula las áreas que producía su dibujo anterior. Da alturas exactas en datos/min y conteos como enteros.
Ver solución explicada
- Relacionar la promesa de área con la corrección de alturas.
- Calcular los conteos falsamente representados en el dibujo anterior.
Respuesta: Alturas correctas 3 y 2. Las áreas anteriores eran 2×6 = 12 y 4×8 = 32, no 6 y 8. Nuevas áreas 2×3 = 6 y 4×2 = 8.
Alturas correctas 3 y 2. Las áreas anteriores eran 2×6 = 12 y 4×8 = 32, no 6 y 8. Nuevas áreas 2×3 = 6 y 4×2 = 8.
Una tabla tiene 0≤t<2: 4 datos, 2≤t<5: 9 y 5≤t<9: 8. Se quiere unir las dos primeras clases. Obtén frecuencia, amplitud y altura de la clase resultante. Después decide si la tabla original permite saber exactamente cuántos datos tienen t<5 y cuántos t≥2, y si la tabla unida, sin la original, todavía lo permite.
Ver solución explicada
- Unir clases completas y calcular la densidad resultante.
- Distinguir lo que la unión conserva (t<5) de lo que pierde (t≥2).
Respuesta: Unión 0≤t<5: 13 datos, amplitud 5, altura 13/5 = 2,6 datos/min. Con la tabla original, t<5 son 4 + 9 = 13 y t≥2 son 9 + 8 = 17, ambos exactos. Con la tabla unida, t<5 sigue siendo 13, pero t≥2 queda entre 8 y 21: unir clases borra el límite 2.
Unión 0≤t<5: 13 datos, amplitud 5, altura 13/5 = 2,6 datos/min. Con la tabla original, t<5 son 4 + 9 = 13 y t≥2 son 9 + 8 = 17, ambos exactos. Con la tabla unida, t<5 sigue siendo 13, pero t≥2 queda entre 8 y 21: unir clases borra el límite 2.
Construye dos clases consecutivas de tiempos, disjuntas, que empiecen en 0 y terminen en 10 min. Sus amplitudes deben ser 2 y 8 min, en ese orden. Asigna frecuencias enteras positivas que sumen 20 y hagan mayor la altura de la primera pero mayor el conteo de la segunda. Escribe límites, frecuencias y alturas exactas; no dibujes.
Ver solución explicada
- Fijar clases disjuntas completas con amplitudes 2 y 8.
- Producir frecuencias que sumen 20 con órdenes opuestos y comprobar alturas.
Respuesta: Por ejemplo 0≤t<2: 8 datos, altura 4; 2≤t<10: 12 datos, altura 1,5 datos/min. O 6 y 14 dan 3 y 1,75. Se admite toda primera frecuencia entera 5, 6, 7, 8 o 9, con la segunda igual a 20 menos la primera.
Por ejemplo 0≤t<2: 8 datos, altura 4; 2≤t<10: 12 datos, altura 1,5 datos/min. O 6 y 14 dan 3 y 1,75. Se admite toda primera frecuencia entera 5, 6, 7, 8 o 9, con la segunda igual a 20 menos la primera.

Alineación curricular y fuentes

DBA Matemáticas V.2 (2016), grado 8, DBA 11, página impresa y PDF 64. Desarrollo editorial parcial de sus evidencias; no cobertura anual ni adscripción oficial de los EBC de banda a un único grado. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2

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