9.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar el alcance de una identidad y las condiciones de una ecuación.
- Reconstruir transformaciones válidas y comprobar soluciones.
- Localizar errores y adaptar el conjunto solución al contexto.
Antes de empezar
- Propiedad distributiva y productos de binomios.
- Igualdades, desigualdades y operaciones con números negativos.
Revisar un argumento algebraico completo
Una identidad afirma que dos expresiones coinciden para todas las entradas de su dominio. Una ecuación pide las entradas para las que coinciden. Probar un valor que funciona no demuestra una identidad; encontrar uno que falla sí basta para refutarla. Para demostrar una factorización se desarrolla el producto o se aplica una propiedad válida.
La distributiva exige multiplicar cada término. En (x+a)² aparecen x², dos productos ax y a². Omitir el término central cambia la expresión. Al reducir un polinomio, solo se suman términos con la misma parte literal: x² y x tienen exponentes distintos.
Si un producto es cero, alguno de sus factores es cero. Esa propiedad permite resolver una ecuación factorizada sin dividir por una expresión que podría valer cero. Después se sustituyen las soluciones en la ecuación original y se aplican las restricciones del contexto: una raíz negativa puede ser algebraicamente válida y no representar una longitud.
Una desigualdad conserva su sentido al sumar la misma cantidad en ambos lados. Al multiplicar o dividir por un número negativo, el sentido se invierte. Si la variable cuenta objetos, el conjunto final se restringe a enteros no negativos; la frontera se revisa con el último entero admitido y el siguiente.
- polinomios, factorización, ecuación cuadrática, inecuaciones
- Una transformación equivalente conserva el conjunto de entradas que satisface la condición. Su validez depende de la operación aplicada y de restricciones como no dividir por cero.
Elegir, resolver y comprobar
- Lee el dominio y distingue identidad, ecuación y desigualdad.
- Revisa cada transformación; detente en la primera que cambia indebidamente la expresión o sus soluciones.
- Reconstruye un procedimiento válido y comprueba sus resultados en el enunciado original.
- Aplica las restricciones del contexto y expresa el conjunto completo o un contraejemplo suficiente.
Un caso para aprender el procedimiento
Un estudiante resuelve x(x−5)=0 dividiendo entre x y concluye x=5. Revisa el procedimiento y encuentra todas las soluciones.
- Dividir entre x excluye x=0 antes de comprobarlo, aunque puede ser solución.
- Por producto nulo: x=0 o x−5=0, así que x=0 o x=5.
- Ambos valores hacen cero el producto original.
Soluciones 0 y 5; la división perdió una solución.
Condiciones que cambian el resultado
- Identidad
(x+2)(x+3)=x²+5x+6 se acredita mediante la distributiva.
- Ecuación
x²+5x+6=0 tiene soluciones −2 y −3, no todas las entradas.
- Contexto
Si x es una longitud positiva, esas raíces no producen una longitud admisible.
Revisar una conclusión
De −2x≤8 se sigue x≤−4.
Al dividir por −2 se invierte el sentido: x≥−4.
Por ejemplo x=0 cumple la desigualdad original y la corregida, pero no la propuesta. La frontera x=−4 cumple la igualdad.
- No confundas un ejemplo favorable con prueba de identidad.
- Evita perder soluciones al dividir por una variable.
- Revisa signo, dominio y frontera al expresar la solución.
Relaciona los datosPrueba otro caso
Se propone (x+4)²=x²+16 como identidad. Usa x=2 para calcular el valor de cada lado y luego escribe el coeficiente del término en x que falta en el desarrollo correcto.
Una alumna reduce 3x²+2x−x²+5x a 9x². Halla el coeficiente de x² en la expresión correcta y el valor correcto del polinomio para x=2.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Lado izquierdo para x=2: 36; Lado derecho para x=2: 20; Coeficiente del término en x: 8
La distributiva da x²+8x+16. El contraejemplo refuta la identidad y el desarrollo explica la causa.
Respuesta: Coeficiente de x²: 2; Valor para x=2: 22
Se agrupan 3x²−x²=2x² y 2x+5x=7x. Para 2: 8+14=22.
Construye y contrastaPrueba otro caso
Un rectángulo tiene lados x cm y x+3 cm y área 40 cm². Tras factorizar, obtiene (x+8)(x−5)=0. Halla las dos raíces de la ecuación y el perímetro admisible del rectángulo. Escribe primero la raíz menor.
Se quiere resolver x²−9x=−20. Un estudiante divide solo el lado izquierdo entre x y escribe x−9=−20, por lo que propone x=−11. Calcula las dos raíces reales de la ecuación original, de menor a mayor, y la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho al sustituir la propuesta −11.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Raíz menor: −8; Raíz mayor: 5; Perímetro en centímetros: 26
x²+3x−40=(x+8)(x−5). La longitud x=5 produce lados 5 y 8; −8 no representa los lados positivos.
Respuesta: Raíz menor: 4; Raíz mayor: 5; Lado izquierdo menos lado derecho para x=−11: 240
x²−9x+20=(x−4)(x−5), así que las raíces son 4 y 5. En −11, el lado izquierdo vale 121+99=220 y el derecho −20: diferencia 240. Dividir ambos lados por x produciría x−9=−20/x, con x≠0; no x−9=−20.
Comprueba el límitePrueba otro caso
Una cuenta de puntos empieza en 38 y descuenta 4 por cada falta. Se exige conservar al menos 11 puntos. Halla el máximo número entero no negativo de faltas permitido y los puntos que quedarían con una falta más.
Un descuento deja el saldo S=25−3n, donde n es un número entero no negativo. El saldo debe ser estrictamente mayor que 7. Calcula el máximo n permitido y el saldo en ese caso; no incluyas la igualdad.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Máximo de faltas: 6; Puntos con una falta más: 10
38−4n≥11 da n≤27/4. Con 6 hay 14 y con 7 hay 10.
Respuesta: Máximo n: 5; Saldo correspondiente: 10
25−3n>7 da n<6. El 6 da exactamente 7 y queda excluido; el 5 da 10.
Integra el razonamiento
Una hoja cuadrada de lado x cm se amplía aumentando 2 cm cada lado. El área crece en 28 cm². Plantea y resuelve la condición sin omitir el término central, encuentra ambos lados y verifica el aumento.
Solución accesible sin interacción
- Desarrolla correctamente la diferencia de áreas.
- Resuelve y aplica el dominio positivo.
- Verifica lados y áreas originales.
Respuesta: (x+2)²−x²=28; 4x+4=28, x=6 cm. El nuevo lado es 8 cm y las áreas 36 y 64 cm² difieren en 28.
El aumento no equivale a 2² porque incluye dos franjas y el cuadrado añadido.
Compruébalo ahora
Un compañero propone x²−7x+10=(x−1)(x−10). Decide si es identidad mediante el desarrollo de su producto. Da una factorización correcta y resuelve x²−7x+10=0. No basta con sustituir un único valor.
Ver solución explicada
- Desarrolla ambos productos o justifica los coeficientes.
- Propone factores con suma y producto correctos.
- Obtiene y comprueba las dos raíces.
Respuesta: El producto propuesto es x²−11x+10 y no coincide. La factorización correcta es (x−2)(x−5), porque la suma es 7 y el producto 10; las raíces son 2 y 5.
Comparar coeficientes prueba el error de la identidad; el producto nulo resuelve después la ecuación.
El área de un rectángulo con lados x y x+1 metros es 20 m². Una solución obtiene x=4 y x=−5 y elimina la negativa diciendo que «las ecuaciones no tienen soluciones negativas». Corrige tanto la justificación como la conclusión sobre los lados.
Ver solución explicada
- Resuelve la ecuación completa.
- Separa validez algebraica y admisibilidad física.
- Verifica las dimensiones elegidas.
Respuesta: La ecuación x²+x−20=0 sí tiene las dos soluciones 4 y −5. Se excluye −5 porque no da longitudes positivas. Los lados admisibles son 4 y 5 m y su área es 20 m².
(x+5)(x−4)=0. El dominio físico, no una regla general sobre ecuaciones, elimina una raíz.
Una biblioteca tiene 12000 pesos para comprar cuadernos de 1700 pesos cada uno y pagar un transporte fijo de 1500. Se debe comprar al menos uno. Un cálculo ignora el transporte y propone siete. Halla el conjunto de cantidades enteras admisibles y cuantifica cuánto excedería el presupuesto la propuesta.
Ver solución explicada
- Incluye fijo y dominio de la variable.
- Obtiene el conjunto, no solo una cantidad.
- Comprueba frontera y exceso de la propuesta.
Respuesta: 1≤n≤6, n entero. Para 7: 1500+7·1700=13400 pesos, exceso 1400; para 6 se gastan 11700.
1500+1700n≤12000 da n≤10500/1700, entre 6 y 7.
Se busca resolver x²=3x. Un método divide por x y da solo 3; otro resta 3x y factoriza. Compara los dominios de ambos métodos y escribe el conjunto solución completo. Si x representa el número de participantes de un grupo no vacío, ¿qué cambia y por qué?
Ver solución explicada
- Explica la restricción de la división.
- Comprueba ambas soluciones originales.
- Aplica el contexto sin cambiar la ecuación.
Respuesta: La división supone x≠0 y pierde la solución 0. La factorización x(x−3)=0 conserva {0;3}. Para un grupo no vacío, el dominio exige x entero positivo y queda únicamente 3; esa exclusión procede del contexto.
Se comprueban 0²=3·0 y 3²=3·3 antes de aplicar el dominio del grupo.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 9, DBA 1. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 2. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 8. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 9. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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