9.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar datos, fórmulas y cambios de una cantidad.
- Construir un modelo con su dominio y usarlo para decidir.
- Comprobar predicciones y distinguir evidencia de suposición.
Antes de empezar
- Operaciones con enteros, fracciones y potencias.
- Sustitución de valores en expresiones algebraicas.
De un patrón a una decisión
Una función asigna a cada entrada permitida una sola salida. La entrada puede ser una cantidad de hojas, un día o la longitud de un lado; su significado decide si admite fracciones o solo enteros. Una fórmula sin ese dominio puede producir resultados que no responden al problema.
Para construir un modelo, primero compara cambios de entradas iguales. Si la salida aumenta siempre la misma cantidad, un modelo lineal puede ser adecuado. Si se multiplica por un mismo factor, conviene examinar una sucesión geométrica. En un modelo cuadrático, las diferencias consecutivas de salidas no son constantes, pero sus segundas diferencias sí lo son cuando las entradas están igualmente espaciadas.
Unos pocos datos pueden coincidir con varios modelos. Se puede proponer una regla para los datos disponibles, pero extrapolar exige una condición adicional: por ejemplo, que la tarifa por hoja siga siendo fija. Una observación que contradice la regla obliga a revisarla, aunque los primeros valores coincidan.
- función lineal, modelo cuadrático, sucesiones
- Un modelo es una relación matemática que representa una situación bajo supuestos explícitos. En y=mx+b, m es el cambio de y por cada unidad de x y b es el valor previsto para x=0.
Elegir, resolver y comprobar
- Nombra entrada y salida con sus unidades; delimita las entradas posibles.
- Calcula diferencias o razones entre datos comparables; no confundas el número del término con el número de aumentos.
- Construye la expresión y sustituye los datos para comprobarla.
- Usa el modelo para responder y revisa el límite entre casos; una igualdad no significa que un plan sea más barato.
Un caso para aprender el procedimiento
Una imprenta cobra una tarifa fija y un valor por hoja. Imprimir 6 hojas cuesta 3900 pesos y 10 hojas cuesta 5100 pesos. Si la tarifa no cambia, ¿cuánto costarán 15 hojas?
- Cuatro hojas adicionales cuestan 1200 pesos: el valor por hoja es 300 pesos.
- La tarifa fija es 3900−6·300=2100 pesos; C(n)=2100+300n, para n entero no negativo.
- C(15)=6600 pesos. Al usar n=10 se recuperan los 5100 pesos del segundo dato.
6600 pesos; el resultado depende de que se mantenga la tarifa.
Condiciones que cambian el resultado
- Aumento constante
En 4, 7, 10, 13 cada paso agrega 3. El término n es 4+3(n−1).
- Factor constante
En 4, 12, 36, 108 cada paso multiplica por 3. El término n es 4·3^(n−1).
- Cuadrático
En 1, 4, 9, 16 las diferencias son 3, 5 y 7. El modelo n² explica esta lista, sin demostrar por sí solo que un proceso real deba continuar así.
Revisar una conclusión
Una lista que empieza 2, 4, 6 debe continuar 8.
La regla «sumar dos» predice 8, pero tres datos no determinan todas las reglas posibles.
La predicción necesita que el proceso conserve la regla; una lista finita no prueba una única ley.
- Vincula cada expresión con una magnitud y un dominio.
- Diferencias y razones describen cambios distintos.
- Verifica datos, fronteras y supuestos antes de extrapolar.
Relaciona los datosPrueba otro caso
Una cooperativa paga un valor fijo por transportar cajas y otro por cada caja. Por 3 cajas paga 2900 pesos y por 7, 4500 pesos. Se mantiene la tarifa. Calcula el valor por caja y el costo de transportar 9. Escribe enteros sin separador de miles.
Un servicio cobra 2500 pesos por 2 paquetes y 4600 por 5. La tarifa es fija más un costo constante por paquete. Con presupuesto de 7000 pesos, halla el costo por paquete y el máximo número entero de paquetes que puedes enviar.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Valor por caja, en pesos: 400; Costo por 9 cajas, en pesos: 5300
La diferencia 1600 corresponde a 4 cajas; 1600/4=400. El fijo es 2900−1200=1700 y 1700+9·400=5300.
Respuesta: Pesos por paquete: 700; Máximo de paquetes: 8
2100/3=700; fijo=1100. Para 8 el costo es 6700 y para 9 es 7400.
Construye y contrastaPrueba otro caso
Un mosaico usa A(n)=n² fichas en la etapa n, con n entero positivo. Ya está construida la etapa 4 y hay 19 fichas nuevas para ampliarlo, sin retirar ninguna. Un estudiante asegura que alcanza para completar la etapa 6. Determina la mayor etapa completa que puede alcanzarse y cuántas fichas nuevas quedarían sin usar.
Una sucesión geométrica comienza con 5 fichas en la etapa 1 y triplica la cantidad en cada etapa. Un estudiante usa 5·3^n. Calcula la cantidad correcta de la etapa 4 y el exceso que produce su fórmula en esa etapa.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Mayor etapa completa: 5; Fichas nuevas sin usar: 10
Hay 16+19=35 fichas disponibles. La etapa 5 necesita 25 y la etapa 6 necesita 36, así que solo se completa la 5. Ampliar de 16 a 25 usa 9 de las 19 fichas nuevas; quedan 10 y falta una para completar la etapa 6.
Respuesta: Fichas en etapa 4: 135; Exceso de la fórmula errada: 270
La etapa 4 tiene tres multiplicaciones: 5·3³=135. La fórmula propuesta da 405; excede en 270.
Comprueba el límitePrueba otro caso
Una colección aumenta por la misma cantidad cada semana. En la semana 2 tiene 11 piezas y en la semana 5 tiene 23. Halla la cantidad de la semana 1 y la primera semana en que alcanza al menos 40 piezas.
Un cultivo experimental parte de 6 unidades en la medición 1 y duplica en cada medición. Se detiene antes de superar 100 unidades. Calcula la cantidad en la última medición permitida y el número de esa medición.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Piezas en semana 1: 7; Primera semana con al menos 40: 10
Tres intervalos aumentan 12: diferencia 4. a(n)=7+4(n−1); a(9)=39 y a(10)=43.
Respuesta: Cantidad final permitida: 96; Número de medición: 5
6·2⁴=96 en la quinta; la sexta daría 192 y ya no se permite.
Integra el razonamiento
Una asociación ahorra 12000 pesos en el mes 1 y aumenta el ahorro mensual en 3000 pesos cada mes. Otra ahorra 6000 pesos en el mes 1 y duplica su ahorro mensual. Compara los aportes de cada asociación en los meses 3 y 4. ¿A partir de cuál de esos dos meses la segunda aporta más? No se pide el ahorro acumulado.
Solución accesible sin interacción
- Formula ambos modelos y conserva el índice correcto.
- Calcula los cuatro aportes en pesos.
- Limita la afirmación a los meses solicitados.
Respuesta: Mes 3: primera 18000, segunda 24000; mes 4: primera 21000, segunda 48000. De los meses comparados, desde el 3 la segunda aporta más.
Se calculan 12000+3000(n−1) y 6000·2^(n−1). Los aportes mensuales se comparan sin sumarlos.
Compruébalo ahora
Dos talleres cobran por encuadernar n cuadernos, donde n es entero positivo. El primero cobra 6000 pesos fijos más 1000 por cuaderno; el segundo cobra 2000 fijos más 1500 por cuaderno. Determina cuándo cuesta lo mismo y desde qué cantidad el primero resulta más barato. Comprueba los dos enteros que separan los casos.
Ver solución explicada
- Modela los dos costos con la misma entrada.
- Separa empate y desigualdad estricta.
- Verifica 8 y 9 cuadernos.
Respuesta: Empatan con 8 cuadernos; el primero es más barato desde 9. Para 8, ambos cuestan 14000 pesos; para 9, cuestan 15000 y 15500.
6000+1000n=2000+1500n da n=8. La diferencia del primero menos el segundo es 4000−500n.
Un diseño usa 2n²+1 fichas en la etapa n. Se registran 3, 9 y 19 fichas en las tres primeras etapas. Una compañera extrapola sumando el último aumento, 10, y predice 29 para la cuarta. Decide si su predicción respeta el diseño y calcula las fichas que faltarían o sobrarían al usarla.
Ver solución explicada
- Usa la regla declarada, no solo los tres datos.
- Calcula y explica el error de la extrapolación.
- Expresa la diferencia como faltante.
Respuesta: No respeta la regla: la etapa 4 requiere 33 fichas; faltarían 4.
2·4²+1=33. Las diferencias 6, 10 y 14 aumentan en 4; no se mantiene el aumento 10.
En una campaña cada participante invita a otras tres personas nuevas que no fueron invitadas antes. En la ronda 1 hay 4 invitadores; los invitados de una ronda pasan a ser los invitadores de la siguiente. La ronda se puede realizar solo si invita a no más de 150 personas nuevas. ¿Cuál es la última ronda que puede realizarse? Distingue invitadores de invitados.
Ver solución explicada
- Define la cantidad sometida al límite.
- Diferencia invitadores e invitados con sus índices.
- Verifica la ronda límite y la siguiente.
Respuesta: La ronda 3: 36 invitadores producen 108 invitados. La ronda 4 tendría 108 invitadores y 324 invitados, por lo que no se permite.
Los invitados de la ronda n son 12·3^(n−1); se comparan 108 y 324 con 150.
Un tanque pierde agua a ritmo constante mientras una llave permanece abierta. A los 2 minutos quedan 46 L y a los 6 quedan 34 L. El responsable afirma que a los 20 minutos el modelo describe −8 L dentro del tanque. Reconstruye el modelo y explica el intervalo de tiempo en que puede representar el contenido.
Ver solución explicada
- Obtiene tasa y volumen inicial.
- Determina la frontera de vaciado.
- Distingue fórmula prolongada y dominio físico.
Respuesta: V(t)=52−3t, en litros, para 0≤t≤52/3 minutos. A los 20 minutos la prolongación algebraica da −8, pero el tanque se vacía a los 17 1/3 minutos y no puede contener un volumen negativo.
(34−46)/(6−2)=−3 L/min; V(0)=52. La frontera física es V=0.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 9, DBA 2. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 3. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 8. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 9. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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