9.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir un valor exacto de su representación aproximada.
- Controlar potencias, raíces y precisión en cálculos encadenados.
- Comprobar si una aproximación basta para decidir frente a un límite.
Antes de empezar
- Cuadrados y propiedades de potencias.
- Decimales, fracciones y comparación de números.
Aproximar sin perder la decisión
Un valor exacto y una aproximación no se intercambian sin consecuencias. √2 nombra un número exacto; 1,41 nombra un decimal racional cercano. Para indicar cercanía se escribe ≈. El error absoluto respecto a un valor de referencia es la distancia entre el resultado aproximado y esa referencia, con la unidad de la magnitud.
Una raíz positiva puede acotarse comparando cuadrados: si a²<N<b², entonces a<√N<b para a y b no negativos. Un intervalo suficientemente estrecho puede decidir un redondeo o una desigualdad sin fingir conocer todas las cifras. Si el límite está dentro del intervalo, hace falta mayor precisión.
Redondear temprano y volver a operar puede acumular error. Una potencia amplifica ciertos cambios: un lado aproximado se usa dos veces al calcular su cuadrado y tres al calcular su cubo. Conserva valores exactos o más cifras durante los pasos y redondea al final con una regla declarada. En esta lección, al redondear a una cifra decimal se aumenta la décima si la centésima es al menos cinco; a centésimas se mira la milésima.
Los paréntesis fijan qué se eleva a una potencia. (−3)² es positivo, mientras −3² significa el opuesto de 3². Con una base distinta de cero, el exponente negativo indica el inverso de la potencia positiva. Ninguna de estas reglas autoriza distribuir el cuadrado sobre una suma.
- potencias, raíces, error de aproximación, redondeo
- Una cota de error controla cuánto puede alejarse una aproximación. Un intervalo que encierra el valor exacto permite comprobar si toda esa incertidumbre queda del mismo lado de una condición.
Elegir, resolver y comprobar
- Identifica el valor exacto, la unidad, el límite y la precisión pedida.
- Conserva raíces y fracciones durante los pasos; usa paréntesis para el alcance de potencias.
- Acota o aproxima con cifras suficientes y redondea solo donde lo pide la consigna.
- Comprueba si el intervalo entero permite decidir; si no, declara la necesidad de más precisión.
Un caso para aprender el procedimiento
La diagonal de un cuadrado de lado 1 m es √2 m. Se necesita saber si mide menos de 1,42 m y expresarla a centésimas. Usa 1,4142²<2<1,4143².
- La diagonal queda entre 1,4142 y 1,4143 m.
- Todo el intervalo es menor que 1,42 m, por lo que la comparación está decidida.
- Ambos extremos se redondean a 1,41 m a centésimas. El decimal es una aproximación, no la raíz exacta.
Diagonal menor que 1,42 m; aproximación a centésimas: 1,41 m.
Condiciones que cambian el resultado
- Resultado exacto
(√3)²=3; no se necesita aproximar la raíz.
- Redondeo temprano
Usar 1,73² da 2,9929; no recupera exactamente 3.
- Límite dentro de la cota
Si solo se sabe 2,1<x<2,2, no se puede decidir si x<2,15.
Revisar una conclusión
√50=7,07 porque la calculadora muestra ese decimal.
√50≈7,07; el cuadrado de 7,07 es 49,9849 y no 50.
Una pantalla con cifras finitas no cambia la identidad del valor exacto.
- Usa = para identidad y ≈ para aproximación.
- Conserva precisión en los pasos y declara el redondeo final.
- Una cota debe ser suficiente para la decisión solicitada.
Relaciona los datosPrueba otro caso
Un cuadrado tiene área exacta de 7 m². Se conoce 2,6457<√7<2,6458. Calcula el lado redondeado a centésimas y el área que resulta de elevar ese lado redondeado al cuadrado. Escribe decimales sin unidades.
Un cuadrado tiene lado exacto √11 cm. Se conoce 3,3166<√11<3,3167. Halla el perímetro a centésimas conservando esa cota durante la multiplicación y el perímetro que se obtendría redondeando antes el lado a una décima.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Lado a centésimas: 2,65; Área con el lado redondeado: 7,0225
La milésima decide subir la centésima a 2,65; 2,65²=7,0225, que ya no coincide con 7.
Respuesta: Perímetro final a centésimas: 13,27; Perímetro con redondeo temprano: 13,2
El perímetro está entre 13,2664 y 13,2668, por lo que redondea a 13,27. Redondear el lado a 3,3 produce 13,2.
Construye y contrastaPrueba otro caso
Un estudiante sustituye √13 por 3,6 cm para calcular el área de un cuadrado cuyo lado exacto es √13 cm. Calcula el área obtenida y el error absoluto respecto al área exacta. No redondees.
Se quiere la longitud exacta 3√8 cm. Alguien usa √8≈2,8 y obtiene 8,4 cm. Se toma como referencia decimal 8,4853 cm para comparar aproximaciones. Calcula el error absoluto de 8,4 respecto a esa referencia y la longitud redondeada a centésimas usando la referencia.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Área aproximada en cm²: 12,96; Error absoluto en cm²: 0,04
El área exacta es 13; 3,6²=12,96 y |13−12,96|=0,04.
Respuesta: Error respecto a la referencia: 0,0853; Longitud a centésimas: 8,49
|8,4853−8,4|=0,0853. La milésima cinco aumenta la centésima. No se declara la referencia como valor exacto.
Comprueba el límitePrueba otro caso
Se compara A=(−4)²·2^(−3) y B=−4²·2^(−3). Calcula A y la diferencia A−B. Escribe números exactos.
Un dispositivo almacena 2^5 bloques, cada uno de 2^(−2) MB. Se reservan 3 MB para control. Calcula la capacidad total y la disponible para archivos. No confundas potencia negativa con cantidad negativa.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Valor de A: 2; Valor de A−B: 4
2^(−3)=1/8. A=16/8=2; B=−16/8=−2.
Respuesta: Capacidad total en MB: 8; Capacidad disponible en MB: 5
2^5·2^(−2)=2³=8; 8−3=5.
Integra el razonamiento
Una diagonal mide √20 m y debe ser menor que 4,48 m para caber en un montaje ideal. Se conoce 4,4721<√20<4,4722. Decide si cabe y da su longitud a centésimas. Evalúa la alternativa de redondear primero a décimas y comparar ese decimal con el límite.
Solución accesible sin interacción
- Decide usando toda la cota.
- Redondea a la precisión pedida.
- Explica el fallo del redondeo temprano frente al umbral.
Respuesta: Sí cabe porque incluso 4,4722<4,48. A centésimas mide aproximadamente 4,47 m. Redondear primero a 4,5 m cambiaría indebidamente la decisión.
El intervalo exacto queda bajo el límite; el decimal a décimas es demasiado grueso para esta comparación.
Compruébalo ahora
Para medir un cable se sabe únicamente 5,12<L<5,18 m. La condición de aceptación es L≤5,15 m. Decide si esa información basta. Propón dos longitudes compatibles que produzcan decisiones opuestas y explica qué información adicional se necesita.
Ver solución explicada
- Evalúa la ubicación del límite en la cota.
- Da dos ejemplos válidos en lados opuestos.
- Explica qué debe resolver la nueva precisión.
Respuesta: No basta. Por ejemplo 5,14 m cumple y 5,16 m no cumple; ambos pertenecen a la cota. Hace falta una medición o cota más precisa que sitúe L frente a 5,15, incluyendo la igualdad admitida.
El umbral está dentro del intervalo; no puede sustituirse por el promedio y concluir.
Un cuadrado tiene área exacta de 2 m². Dos métodos calculan su área desde el lado: uno conserva √2, el otro lo sustituye por 1,4 m. Calcula los resultados y el error del segundo método. ¿Aumentar después los decimales escritos en 1,4000 recupera el área exacta?
Ver solución explicada
- Calcula ambos métodos.
- Expresa el error con su unidad.
- Distingue formato decimal y precisión real.
Respuesta: Primer método: 2 m². Segundo: 1,96 m²; error absoluto 0,04 m². Escribir 1,4000 conserva el mismo racional 1,4 y no recupera precisión perdida.
Elevar la raíz exacta al cuadrado recupera 2; los ceros finales no añaden información.
En un cálculo de energía ideal se usa E=2^(−2)·(−6)² J. Un estudiante escribe E=−9 J porque trata el cuadrado como −6². Reconstruye los dos valores, localiza la diferencia de significado y calcula su separación absoluta.
Ver solución explicada
- Respeta el alcance del cuadrado.
- Calcula ambos valores exactos.
- Cuantifica la separación y explica el error.
Respuesta: La expresión dada vale 9 J; la expresión cambiada vale −9 J. Separación 18 J. El cuadrado afecta a toda la base −6 cuando hay paréntesis.
2^(−2)=1/4; (−6)²=36, mientras −6²=−36.
Una pieza cúbica tiene arista exacta √3 cm. Se aproxima la arista por 1,7 cm. Calcula el volumen exacto y el aproximado. Usa 5,1962 cm³ como referencia decimal para hallar el error de la aproximación. Explica por qué no es correcto elevar 3 al cubo para el volumen exacto.
Ver solución explicada
- Simplifica la potencia de la raíz.
- Calcula cubo y error respecto a referencia.
- Conserva unidades cúbicas y distinción exacto/referencia.
Respuesta: Volumen exacto 3√3 cm³; aproximado 4,913 cm³. Error respecto a la referencia: 0,2832 cm³. El lado es √3, no 3; (√3)³=3√3.
Se distingue el radicando de la arista; la potencia afecta al valor del lado.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 9, DBA 1. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 5. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 8. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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