9.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Comparar centro y dispersión mediante una convención explícita.
- Construir espacios de resultados respetando orden y reemplazo.
- Justificar conclusiones sin confundir resultados posibles y equiprobables.
Antes de empezar
- Orden de números y promedio de dos valores.
- Fracciones y principio multiplicativo.
Comparar datos y contar resultados posibles
Una distribución reúne datos de una misma variable. Antes de comparar grupos, comprueba que la variable, la unidad y la forma de recolección sean comparables. La mediana señala el centro del conjunto ordenado, pero no describe por sí sola cuánto se separan los datos.
Aquí Q1 es la mediana de la mitad inferior y Q3 la mediana de la mitad superior. Si hay un número impar de datos, se excluye la mediana global antes de dividir las mitades. En una mitad con cantidad par se promedian sus dos valores centrales. El rango intercuartílico RIC=Q3−Q1 describe la amplitud del 50 % central; no es el rango máximo menos mínimo. Existen otras convenciones de cuartiles, por eso esta se declara antes de calcular.
Para contar extracciones, especifica qué distingue a los objetos y si importa el orden. Extraer dos fichas distintas sucesivamente de n fichas identificables sin devolver la primera produce n(n−1) pares ordenados. Si se devuelve antes de la segunda extracción, produce n². Si solo importa un grupo de dos fichas sin orden, cada grupo aparece dos veces en la lista de pares distintos.
Tener dos colores no significa que ambos sean igualmente probables. Bajo extracciones uniformes de fichas identificables, se cuentan pares equiprobables y los que cumplen el evento. Para sumar casos favorables, comprueba que los grupos de casos sean disjuntos; de lo contrario algunos resultados se contarían más de una vez.
- cuartiles, dispersión, conteo con reemplazo, conteo sin reemplazo
- Un espacio muestral reúne todos los resultados que el experimento permite distinguir. Un evento es un subconjunto de esos resultados; su probabilidad es favorables/posibles cuando los resultados contados son equiprobables.
Elegir, resolver y comprobar
- Declara la variable o las reglas del experimento antes de calcular.
- En datos, ordena y aplica la convención de cuartiles; en conteo, construye las etapas con sus posibilidades.
- Compara centro y dispersión, o calcula favorables y posibles bajo la misma regla de orden.
- Limita la conclusión a los datos y comprueba disjunción o equiprobabilidad antes de sumar o dividir.
Un caso para aprender el procedimiento
Se registran minutos de espera: grupo A, 2;4;4;6;6;8;8;10, y grupo B, 1;2;3;6;6;9;10;11. Compara medianas y RIC con la convención indicada.
- Ambas medianas son (6+6)/2=6 min.
- Para A: Q1=(4+4)/2=4, Q3=(8+8)/2=8; RIC=4 min.
- Para B: Q1=(2+3)/2=2,5, Q3=(9+10)/2=9,5; RIC=7 min.
El centro es igual, pero la mitad central de B está más dispersa; eso no establece una causa.
Condiciones que cambian el resultado
- Reponer una ficha
Después de extraerla se devuelve: la segunda etapa conserva todas las posibilidades.
- No reponerla
La primera ficha no está disponible en la segunda extracción.
- Ignorar el orden
El par de fichas a,b y el par b,a representan el mismo grupo, aunque son extracciones ordenadas distintas.
Revisar una conclusión
Dos grupos con la misma mediana son igual de homogéneos.
La homogeneidad requiere una medida de dispersión; grupos con igual mediana pueden tener distintos RIC.
Una medida de centro no sustituye a una medida de variación ni explica su causa.
- Declara la convención de cuartiles.
- Respeta orden, identidad y reemplazo al contar.
- Una conclusión estadística o probabilística necesita sus condiciones.
Relaciona los datosPrueba otro caso
Usa la convención de mitades de esta lección. A registra 3;5;5;7;7;9;9;11 minutos. B registra 1;3;5;7;7;9;11;13. Calcula la mediana común y cuánto excede el RIC de B al de A.
En una lista ordenada de cinco distancias aparecen 2;4;6;8;10 m. Se sustituye únicamente el 10 por 30. Con la convención de excluir la mediana global antes de hallar cuartiles, calcula la nueva mediana y el nuevo RIC.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Mediana común en minutos: 7; Exceso del RIC en minutos: 2
A: Q1=5,Q3=9,RIC=4. B: Q1=4,Q3=10,RIC=6. Ambas medianas=7.
Respuesta: Nueva mediana en metros: 6; Nuevo RIC en metros: 16
La mediana sigue siendo 6. Q1=(2+4)/2=3 y Q3=(8+30)/2=19: RIC=16.
Construye y contrastaPrueba otro caso
Hay 6 tarjetas distintas: 2 rojas y 4 negras. Se extrae una uniformemente, se registra, se devuelve y se extrae otra de la misma forma; importa el orden. Calcula todos los pares ordenados y los pares con exactamente una tarjeta roja. Un estudiante cuenta solo los pares roja-negra: tus resultados deben incluir los dos órdenes posibles.
Hay 5 fichas identificables: 3 verdes y 2 amarillas. Se extraen dos sin reemplazo, con igual probabilidad para cada ficha disponible. Importa el orden. Calcula todos los pares posibles y los pares de distinto color.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Total de pares ordenados: 36; Pares con exactamente una roja: 16
Con reemplazo hay 6·6=36 pares identificables equiprobables. Roja-negra aporta 2·4=8 y negra-roja otros 4·2=8. Son casos disjuntos y suman 16; roja-roja no cumple exactamente una roja.
Respuesta: Pares posibles: 20; Pares de distinto color: 12
5·4=20. Verde-amarilla aporta 3·2=6 y amarilla-verde otros 6; son eventos disjuntos.
Comprueba el límitePrueba otro caso
Se elige un equipo de dos personas entre 7 estudiantes; no se distinguen cargos y nadie puede repetirse. Dos de los estudiantes necesitan estar juntos si cualquiera de ellos participa: son admisibles el equipo formado por ambos o los equipos formados solo entre los otros cinco. Calcula el total de equipos admisibles y cuántos equipos se excluirían respecto a una elección sin esa condición.
Una bolsa tiene 4 fichas identificables: 1 roja y 3 azules. Se extraen dos con reemplazo, uniformemente y en orden. Calcula los pares posibles y los pares con exactamente una roja.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Equipos admisibles: 11; Equipos excluidos: 10
Los dos estudiantes forman un equipo. Entre los otros cinco hay 5·4/2=10 equipos: total admisible 11. Sin condición hay 7·6/2=21; se excluyen 21−11=10. Equivale a excluir los 2·5 equipos que incluyen solo uno de los dos estudiantes.
Respuesta: Pares posibles: 16; Pares con exactamente una roja: 6
4²=16. Roja-azul aporta 3, azul-roja otros 3; no se incluye roja-roja.
Integra el razonamiento
Dos grupos registran tiempos para resolver la misma tarea, con el mismo instrumento y procedimiento: A: 2;4;4;6;6;8;8;10 min. B: 5;6;6;7;7;8;8;9 min. Usa la convención de mitades. Calcula medianas y RIC. Si se prioriza un menor tiempo central, ¿qué grupo se prefiere? Si se prioriza una menor dispersión central, ¿cuál se prefiere? Justifica por qué ninguna de las dos comparaciones, por sí sola, demuestra que el profesor causó la diferencia.
Solución accesible sin interacción
- Muestra el cálculo de medianas y cuartiles con la convención de mitades, forma el RIC y usa minutos.
- Compara por separado los grupos para cada prioridad y justifica la elección con las medidas correspondientes.
- Evalúa el alcance causal sin atribuir la diferencia al profesor solo por los datos descriptivos.
Respuesta: A: mediana 6 min, Q1=4, Q3=8, RIC=4 min. B: mediana 7 min, Q1=6, Q3=8, RIC=2 min. Si se prioriza el tiempo central, se prefiere A; si se prioriza menor dispersión central, B. No hay una preferencia única sin fijar la prioridad y los datos descriptivos no permiten aislar el efecto del profesor.
A tiene menor mediana pero mayor RIC. B es más homogéneo en su mitad central aunque su tiempo central es mayor. Una comparación observada, aun con mediciones comparables, no descarta selección de grupos, condiciones previas u otras causas.
Compruébalo ahora
Una lista ordenada de ocho puntajes es 1;3;4;5;7;8;9;11. Se reemplaza 11 por 51. Calcula mediana, RIC y rango antes y después usando la convención de mitades. Explica qué medida detecta aquí el cambio extremo.
Ver solución explicada
- Identifica posiciones de las medidas.
- Calcula las tres medidas antes y después.
- Limita la interpretación a esta sustitución.
Respuesta: Mediana 6 en ambos casos; Q1=3,5 y Q3=8,5, RIC=5 en ambos; rango pasa de 10 a 50. El rango detecta aquí el cambio del máximo.
El valor alterado no ocupa los puestos usados para mediana o cuartiles de esta lista. No se infiere que los cuartiles sean inmunes a cualquier cambio.
Una bolsa contiene 6 fichas distinguibles, 2 rojas y 4 negras. Se extraen dos sucesivamente sin reemplazo, uniformemente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente una roja. Alguien suma los casos «primera roja» y «segunda roja». Explica si esa suma cuenta algún par dos veces.
Ver solución explicada
- Cuenta posibles y favorables con la misma regla.
- Presenta una fracción equivalente.
- Identifica la superposición y el evento exacto.
Respuesta: Probabilidad 16/30=8/15. Los casos de exactamente una roja son roja-negra y negra-roja, 8 cada uno y disjuntos. «Primera roja» y «segunda roja» se superponen en los pares roja-roja, por lo que sumarlos directamente no sirve para ese evento.
Hay 6·5=30 pares equiprobables. Los pares de una roja suman 2·4+4·2=16. Existen 2 pares roja-roja que cumplen las dos condiciones amplias.
De 5 estudiantes se eligen dos para representar al curso. En el caso A los dos tienen el mismo cargo; en el caso B uno presenta y el otro registra. Calcula cuántas selecciones hay en cada caso y explica por qué no se aplica la misma cuenta.
Ver solución explicada
- Especifica qué hace distintos los resultados.
- Cuenta ambos espacios sin repetición de persona.
- Explica el factor de duplicación solo en A.
Respuesta: Caso A: 10 equipos. Caso B: 20 asignaciones. A no distingue orden; B distingue qué persona recibe cada cargo.
Los pares ordenados son 5·4=20. En A cada equipo aparece dos veces; en B las dos asignaciones son distintas.
Hay 3 fichas blancas y 1 negra, todas identificables. Se extraen dos uniformemente con reemplazo y se registra el orden. Compara la probabilidad de dos blancas con la de dos negras. Refuta la idea de que ambas valen 1/4 porque se ven dos colores.
Ver solución explicada
- Construye el espacio a nivel de fichas.
- Cuenta ambos eventos.
- Justifica por qué no equiparar colores.
Respuesta: Dos blancas: 9/16; dos negras: 1/16. Los cuatro pares de colores no son equiprobables: hay 9 pares de fichas blanca-blanca y solo uno negra-negra.
El espacio equiprobable tiene 4²=16 pares identificables, no cuatro colores equiprobables.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 9, DBA 10. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 11. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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