9.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Identificar dimensiones internas, unidades y volumen útil.
- Comparar cuerpos redondos y transformar escalas.
- Comprobar capacidad y límites de un modelo geométrico.
Antes de empezar
- Potencias y proporcionalidad.
- Área del círculo y conversión entre centímetros y metros.
Volumen, capacidad y límites del modelo
El volumen mide el espacio ocupado por un cuerpo; la capacidad mide cuánto puede contener un recipiente. Un modelo de capacidad necesita dimensiones internas. Medir el exterior de un recipiente de paredes gruesas y usar esas medidas como interior sobreestima el espacio disponible.
Para un cilindro de radio r y altura h, V=πr²h. Para un cono con el mismo radio y la misma altura, V=πr²h/3. Esa tercera parte exige ambas coincidencias: si cambia la altura, hay que compararla también. La esfera de radio r tiene V=4πr³/3. El diámetro es dos veces el radio y no puede sustituirse directamente en estas fórmulas.
Las unidades se elevan junto con las longitudes: si r y h están en centímetros, el volumen queda en centímetros cúbicos. Un litro equivale a 1000 cm³. Si todas las dimensiones crecen por k, el volumen crece por k³. Duplicar únicamente la altura de un cilindro duplica su volumen; duplicar también el radio lo multiplica por ocho.
El volumen útil puede ser menor que la capacidad total. Una regla de llenado puede reservar una fracción, y al comprar envases completos hay que redondear hacia arriba. Ese redondeo comercial es distinto de aproximar una magnitud a cierto número de decimales. En esta lección se usa π=3,14 cuando se pide una cifra decimal; si no, se conserva π.
- cilindro, cono, esfera, capacidad
- Un modelo geométrico aproxima un objeto real con un cuerpo ideal. La capacidad útil depende de sus dimensiones internas y de la parte que se permite llenar.
Elegir, resolver y comprobar
- Elige el cuerpo y distingue radio, diámetro y altura perpendicular.
- Unifica las unidades antes de aplicar la fórmula.
- Calcula capacidad total, fracción útil y comparación solicitada en ese orden.
- Comprueba unidades cúbicas y decide el redondeo según la pregunta.
Un caso para aprender el procedimiento
Un recipiente cilíndrico ideal tiene diámetro interior de 20 cm y altura interior de 30 cm. Se llena hasta el 80 % de su capacidad. Con π=3,14, ¿cuántos litros contiene?
- El radio es 10 cm. La capacidad total es 3,14·10²·30=9420 cm³.
- El 80 % equivale a 7536 cm³.
- Al dividir entre 1000 se obtienen 7,536 L; no se redondea porque se pide el valor calculado con π=3,14.
7,536 L bajo el modelo y el valor de π indicados.
Condiciones que cambian el resultado
- Misma base y altura
El cono tiene un tercio del volumen del cilindro.
- Altura distinta
Un cono con la misma base y triple altura tiene el mismo volumen que el cilindro.
- Cambio de escala
Una esfera con radio triple tiene volumen 27 veces mayor, no tres veces mayor.
Revisar una conclusión
Una esfera de diámetro 12 cm tiene volumen 4π·12³/3.
Su radio es 6 cm y el volumen es 4π·6³/3.
Confundir diámetro y radio multiplica el volumen por ocho; no es un pequeño error de redondeo.
- Usa dimensiones internas para capacidad.
- Las razones lineales se elevan al cubo si cambian todas las dimensiones.
- Separa capacidad total, llenado útil y unidades finales.
Relaciona los datosPrueba otro caso
Un tanque cilíndrico tiene diámetro interior de 10 cm y altura interior de 20 cm. Se llena hasta 3/4. Usa π=3,14. Halla la capacidad total en centímetros cúbicos y el volumen de agua en litros, sin redondear.
Un depósito cilíndrico tiene radio interior de 10 cm y altura de 15 cm. Con π=3,14, calcula el volumen en litros que queda libre si contiene 2,71 L y la altura de una nueva versión de igual radio con el doble de capacidad.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Capacidad en cm³: 1570; Agua en litros: 1,1775
r=5; V=3,14·25·20=1570. Tres cuartos son 1177,5 cm³ y se dividen por 1000.
Respuesta: Litros libres: 2; Nueva altura en centímetros: 30
Capacidad=4710 cm³=4,71 L; libre=2. Con radio fijo la capacidad es proporcional a h.
Construye y contrastaPrueba otro caso
Un cono y un cilindro tienen igual radio. La altura del cono es 18 cm y la del cilindro 12 cm. El cono lleno contiene 300 cm³. Halla la capacidad del cilindro y cuántos conos llenos hacen falta para llenarlo.
Un cilindro de altura 24 cm se llena con cuatro cargas completas de un cono de igual radio; no hay pérdidas. Halla la altura del cono y cuántas cargas harían falta si la altura del cilindro se redujera a la mitad.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Capacidad del cilindro en cm³: 600; Número de conos llenos: 2
V_cono/V_cilindro=18/(3·12)=1/2. El cilindro no tiene triple capacidad porque sus alturas no coinciden.
Respuesta: Altura del cono en centímetros: 18; Cargas con el cilindro reducido: 2
4·πr²h/3=πr²·24 da h=18. La mitad del volumen requiere la mitad de cargas.
Comprueba el límitePrueba otro caso
Una esfera maciza se amplía manteniendo su forma: el radio pasa de 3 cm a 6 cm. La original ocupa 36π cm³. Halla el volumen de la ampliada como coeficiente de π y cuánto excede al original, también como coeficiente de π.
Una esfera y una copia semejante tienen volúmenes de 32π/3 cm³ y 256π/3 cm³. Halla el factor del radio de la copia respecto al original y el diámetro de la copia si el diámetro original mide 4 cm.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Coeficiente del volumen ampliado: 288; Coeficiente del exceso: 252
El radio se duplica; volumen por 8. 36·8=288 y 288−36=252.
Respuesta: Factor de radio: 2; Diámetro de la copia en centímetros: 8
La razón de volúmenes es 8, así que la razón lineal es 2; 4·2=8.
Integra el razonamiento
Un recipiente cilíndrico tiene radio interior de 5 cm y altura de 40 cm. Solo se permite llenar el 90 %. Un pedido requiere guardar 6 L en recipientes idénticos. Usa π=3,14, calcula la capacidad útil de uno y decide cuántos recipientes completos se necesitan.
Solución accesible sin interacción
- Calcula radio, volumen útil y litros.
- Contrasta dos y tres recipientes.
- Justifica el redondeo por exceso de cantidad de envases.
Respuesta: Capacidad útil 2,826 L; se necesitan 3 recipientes. Dos admiten 5,652 L, insuficientes; tres admiten 8,478 L.
V=3140 cm³; útil=2826 cm³. La compra exige un entero que alcance 6 L, no redondear al entero más cercano.
Compruébalo ahora
Un taller dispone de un cilindro de radio 4 cm y altura 9 cm y de un cono de radio 4 cm y altura 27 cm. Alguien afirma que el cono contiene un tercio porque tiene la misma base. Compara sus volúmenes exactos y explica qué condición de la regla se omitió.
Ver solución explicada
- Calcula ambos modelos conservando π.
- Identifica la condición ausente.
- Concluye igualdad de volumen sin afirmar igualdad de forma.
Respuesta: Ambos tienen 144π cm³. La regla del tercio exige igual radio e igual altura; aquí la altura del cono es triple.
Cilindro: π·16·9=144π; cono: π·16·27/3=144π.
Una esfera tiene radio 2 cm. Se fabrican 10 esferas iguales y se afirma que juntas tienen el volumen de una esfera de radio 20 cm. Evalúa la afirmación comparando ambos volúmenes exactos y la razón entre ellos.
Ver solución explicada
- Calcula suma de volúmenes sin confundir radios.
- Aplica el factor cúbico a la esfera grande.
- Expresa y orienta la razón de comparación.
Respuesta: Las diez esferas ocupan 320π/3 cm³; la de radio 20 ocupa 32000π/3 cm³, cien veces ese volumen. La afirmación es falsa.
El volumen de una pequeña es 32π/3. Multiplicar el radio por 10 multiplica su volumen por 1000, mientras diez piezas solo lo multiplican por 10.
Un recipiente cilíndrico tiene diámetro exterior de 12 cm, paredes laterales de 1 cm de espesor y altura interior de 20 cm. Se reserva 1/5 de su capacidad. Calcula el agua máxima en litros con π=3,14 y explica qué sobreestimación produciría tomar 12 cm como diámetro interior.
Ver solución explicada
- Descuenta paredes en ambos lados.
- Aplica la reserva y convierte a litros.
- Cuantifica el exceso del modelo exterior.
Respuesta: El diámetro interior es 10 cm: capacidad 1,57 L y agua máxima 1,256 L. Usar 12 cm daría capacidad 2,2608 L y agua máxima 1,80864 L: sobreestimación de 0,55264 L en el agua permitida.
Se descuentan dos espesores del diámetro. El radio interior es 5; la comparación errada usa radio 6 y mantiene altura y fracción útil.
Dos depósitos cilíndricos tienen igual capacidad. El segundo tiene el doble del radio del primero. Determina cómo debe cambiar su altura y explica por qué duplicar también su altura no conservaría la capacidad. Verifica con radio 3 cm y altura 16 cm para el primero.
Ver solución explicada
- Relaciona dimensiones a capacidad constante.
- Comprueba con las medidas dadas.
- Contrasta el cambio incorrecto en las dos dimensiones.
Respuesta: La segunda altura debe ser la cuarta parte: 4 cm. Ambos ocupan 144π cm³. Si también se duplicara la altura a 32 cm, el segundo ocuparía 1152π cm³, ocho veces el primero.
Igualar πr²h y π(2r)²h₂ da h₂=h/4.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 9, DBA 4. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 6. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 8. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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