9.º gradoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar longitudes y recorridos con una escala definida.
- Justificar el uso de semejanza o de Pitágoras.
- Revisar si los datos bastan y distinguir recorrido de desplazamiento.
Antes de empezar
- Razones y proporciones.
- Cuadrados, raíces y coordenadas cartesianas.
Medir lo que una representación permite
Una representación selecciona información. Un plano puede conservar proporciones, pero una figura dibujada a mano no asegura que un ángulo sea recto ni que dos segmentos tengan igual longitud. Solo los datos declarados permiten elegir el teorema. Antes de medir, distingue qué está representado y con qué unidad.
Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo: los cuadrados de los catetos suman el cuadrado de la hipotenusa. Identifica primero el ángulo recto y el lado opuesto. Si buscas un cateto, resta cuadrados; sumar los lados o restarlos directamente no conserva esa relación.
Los triángulos semejantes tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes en una misma razón. Una medición mediante sombras necesita objetos verticales, terreno horizontal y rayos solares con la misma dirección. Una sombra tomada en otro momento puede romper esa correspondencia.
La longitud de un recorrido suma los tramos realmente transitados. El desplazamiento une la posición inicial y la final, y puede tener longitud cero aunque se haya caminado. En coordenadas con ejes perpendiculares e igual escala, la distancia directa se obtiene con las diferencias de coordenadas como catetos.
- semejanza, Pitágoras, trayectoria y desplazamiento
- La escala 1:k significa que cada unidad de longitud del plano corresponde a k unidades de la misma clase en la realidad. La razón de áreas es k²; no debe usarse para convertir una longitud.
Elegir, resolver y comprobar
- Determina posición inicial, final, unidad, escala y condiciones geométricas.
- Identifica lados correspondientes o los dos catetos; escribe la relación antes de sustituir.
- Resuelve y convierte las unidades al final, conservando el valor exacto cuando sea útil.
- Compara con los límites geométricos: una diagonal es mayor que cada cateto y menor que su suma.
Un caso para aprender el procedimiento
En un plano a escala 1:200, un patio rectangular mide 3 cm por 4 cm. Se quiere tender una cuerda por su diagonal. ¿Qué longitud necesita en la realidad?
- El ángulo recto permite aplicar Pitágoras: la diagonal del plano mide √(3²+4²)=5 cm.
- Cada centímetro representa 200 cm, es decir, 2 m. La diagonal real es 10 m.
- También se puede convertir primero: lados de 6 y 8 m; √(36+64)=10 m.
10 m, suponiendo que la cuerda sigue la diagonal recta.
Condiciones que cambian el resultado
- Recorrer dos calles
Avanzar 6 m al este y 8 m al norte suma 14 m de recorrido.
- Unir los extremos
La distancia directa es 10 m porque los tramos son perpendiculares.
- Datos insuficientes
Sin el ángulo entre dos tramos de 6 y 8 m no se puede fijar su distancia directa en 10 m.
Revisar una conclusión
La figura parece un triángulo rectángulo; puedo aplicar Pitágoras.
Comprueba si el ángulo recto está dado o se deduce de una condición explícita.
La apariencia de un dibujo sin escala ni marcas no prueba una relación geométrica.
- La unidad y la escala pertenecen a la representación.
- El teorema elegido debe tener sus hipótesis acreditadas.
- Recorrido y distancia entre extremos responden a preguntas distintas.
Relaciona los datosPrueba otro caso
Un plano de un jardín rectangular tiene lados de 5 cm y 12 cm a escala 1:100. Hay una puerta en cada extremo de una diagonal. Calcula la distancia real directa entre puertas y cuánto se ahorra frente a caminar por dos lados consecutivos. Escribe metros sin unidad en los campos.
Un patio rectangular aparece con lados de 8 cm y 15 cm en un plano a escala 1:50. Halla el perímetro real y la longitud real de una diagonal. Escribe metros.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Distancia directa en metros: 13; Ahorro en metros: 4
La diagonal del plano es √(25+144)=13 cm, equivalentes a 13 m. El borde suma 17 m.
Respuesta: Perímetro en metros: 23; Diagonal en metros: 8,5
Los lados reales son 4 y 7,5 m; perímetro 2(11,5)=23. La diagonal del plano es 17 cm y la real 8,5 m.
Construye y contrastaPrueba otro caso
Al mismo tiempo y sobre terreno horizontal, una vara vertical de 1,2 m proyecta una sombra de 0,8 m y un poste vertical una de 3 m. Los rayos solares son paralelos. Halla la altura del poste y el exceso sobre una altura estimada de 4 m.
Una maqueta mantiene todas las longitudes en razón 2:5 respecto al diseño original. Un triángulo rectángulo de la maqueta tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Halla la hipotenusa del original y el perímetro del original.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Altura en metros: 4,5; Exceso en metros: 0,5
Triángulos semejantes: h/3=1,2/0,8=1,5; h=4,5. La diferencia con 4 es 0,5.
Respuesta: Hipotenusa original en centímetros: 25; Perímetro original en centímetros: 60
La hipotenusa de la maqueta es 10; se multiplica cada longitud por 5/2. Original: 15,20,25.
Comprueba el límitePrueba otro caso
Una persona sale del punto (0;0), avanza 9 m al este, luego 12 m al norte y finalmente 9 m al oeste. Halla la longitud del recorrido y la distancia entre la posición inicial y la final. Los ejes este y norte son perpendiculares.
Una escalera recta de 10 m se apoya en una pared vertical sobre piso horizontal. Su pie está a 6 m de la pared. Para alcanzar una ventana a 8,5 m, alguien dice que basta esa posición. Calcula la altura alcanzada y la diferencia que falta para llegar a la ventana.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Recorrido en metros: 30; Distancia entre extremos en metros: 12
9+12+9=30. Termina en (0;12), directamente al norte del inicio.
Respuesta: Altura en metros: 8; Altura faltante en metros: 0,5
El cateto vertical es √(10²−6²)=8 m. No llega a 8,5 m en esa posición.
Integra el razonamiento
Un recorrido parte de (−2;1), pasa por (4;1) y termina en (4;9). Cada unidad de ambos ejes perpendiculares representa 10 m. Compara la distancia recorrida por esos dos segmentos con el trayecto directo y determina el ahorro. Explica por qué la escala no se eleva al cuadrado.
Solución accesible sin interacción
- Obtiene diferencias de coordenadas.
- Calcula dos longitudes y su diferencia.
- Justifica la conversión lineal de escala.
Respuesta: Recorrido 140 m; directo 100 m; ahorro 40 m.
Las diferencias son 6 y 8 unidades. El recorrido suma 14 y la diagonal mide 10. Se multiplican longitudes por 10 m/unidad; elevar al cuadrado la escala correspondería a áreas.
Compruébalo ahora
Se mide la sombra de un poste a las 9:00 y se obtiene 4 m. A las 12:00 una vara de 1 m tiene sombra de 0,5 m. Alguien concluye que el poste mide 8 m. Evalúa la conclusión y describe qué nuevas mediciones permitirían usar semejanza. No inventes una altura.
Ver solución explicada
- Identifica el dato no comparable.
- Explica por qué falla el cálculo propuesto.
- Especifica mediciones simultáneas y condiciones geométricas.
Respuesta: La altura de 8 m no queda determinada: falta una razón de sombras medida bajo la misma dirección solar. Medir simultáneamente las sombras del poste y una vara vertical de altura conocida, sobre terreno horizontal, permitiría h/s_poste=h_vara/s_vara.
El cambio de hora puede cambiar el ángulo solar; 1/0,5 no es necesariamente la razón válida para la sombra de 4 m.
En un croquis a escala 1:250, dos calles rectas perpendiculares forman los catetos de un triángulo. La calle más corta mide 2 cm y el segmento que une sus extremos opuestos mide 5,2 cm. Halla la longitud real de la otra calle y cuánto mide el recorrido por ambas. Da metros sin redondear.
Ver solución explicada
- Distingue hipotenusa y cateto conocido.
- Convierte cada longitud.
- Calcula el recorrido solicitado.
Respuesta: La otra calle mide 12 m; el recorrido por ambas, 17 m.
El cateto desconocido mide √(5,2²−2²)=√23,04=4,8 cm. Cada cm representa 2,5 m: catetos 5 y 12.
Una ciclista recorre 400 m al norte, luego 300 m al este y regresa directamente al inicio. Los dos primeros tramos son perpendiculares. Un registro dice: «distancia total, 0 m», porque termina donde empezó. Corrige el registro e indica qué cantidad sí puede valer cero.
Ver solución explicada
- Calcula el tramo directo con Pitágoras.
- Suma los tres tramos reales.
- Identifica el desplazamiento nulo.
Respuesta: Distancia recorrida total: 1200 m. El último tramo mide 500 m, y 400+300+500=1200. El desplazamiento final es cero.
Se reconstruye la trayectoria y se distingue su longitud de la separación entre inicio y final.
Dos triángulos tienen lados (6;8;10) cm y (9;12;15) cm, en ese orden de correspondencia. Verifica su semejanza y decide si la razón de sus áreas es 3/2. Justifica tu decisión sin calcular cada área por separado.
Ver solución explicada
- Comprueba las tres correspondencias.
- Distingue factor lineal y factor de área.
- Declara el sentido de la razón.
Respuesta: Son semejantes: las tres razones son 3/2. La razón de áreas del segundo al primero es (3/2)²=9/4, no 3/2.
La semejanza conserva razones de longitudes; cada dimensión lineal crece por 3/2, así que el área crece por su cuadrado.
Alineación curricular y fuentes
- Grado 9, DBA 5. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 6. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
- Grado 9, DBA 7. Evidencias seleccionadas para este núcleo; no se acredita cobertura íntegra del DBA. · Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas. V.2
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