1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar la frecuencia relativa como estimación experimental de probabilidad.
- Aplicar la regla de Laplace solo cuando los resultados elementales sean equiprobables.
- Organizar el espacio muestral de un experimento simple con técnicas de recuento.
Antes de empezar
- Calcular fracciones y porcentajes.
- Distinguir caso favorable y caso posible.
- Usar el principio multiplicativo en recuentos sencillos.
La probabilidad puede estimarse o calcularse bajo condiciones
Al repetir muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso ofrece una estimación que suele estabilizarse. El valor observado puede fluctuar y no se confunde con una certeza.
Si el espacio muestral es finito y sus resultados elementales son equiprobables, la regla de Laplace calcula casos favorables entre casos posibles.
- Experimento simple y espacio muestral
- Un experimento simple se considera en una sola realización definida. Su espacio muestral enumera todos los resultados elementales posibles sin omitir ni duplicar casos.
Contar antes de dividir
- Define con precisión el experimento y el suceso.
- Construye el espacio muestral con una lista, tabla, diagrama o principio de recuento.
- Comprueba si los casos elementales son equiprobables.
- Cuenta favorables y posibles una sola vez cada uno.
- Aplica Laplace o, si hay datos observados, calcula frecuencia relativa y declara que es una estimación.
Elegir una pareja entre cuatro muestras
Se eligen dos muestras distintas entre A, B, C y D, sin importar el orden.
- Enumera AB, AC, AD, BC, BD y CD.
- Hay seis parejas y ninguna se repite con orden inverso.
- Si el suceso favorable es escoger una pareja que contenga A y B o A y C, hay dos casos favorables.
Si las seis parejas son equiprobables, la probabilidad es 2/6 = 1/3.
Modelo teórico y evidencia experimental
- Regla de Laplace
Da un valor exacto dentro de un modelo finito con casos equiprobables.
- Frecuencia relativa
Resume lo observado: éxitos dividido entre repeticiones. Aproxima y puede cambiar con una nueva muestra.
Aplicar Laplace sin justificar equiprobabilidad
Dividir por el número de resultados escritos aunque no tengan la misma probabilidad.
Definir resultados elementales comparables y comprobar que el mecanismo los hace equiprobables.
Contar nombres de resultados no garantiza que cada uno tenga el mismo peso.
- La frecuencia relativa estima a partir de repeticiones.
- Laplace exige casos finitos y equiprobables.
- El recuento debe cubrir el espacio muestral sin duplicados.
- Orden, selección y definición del resultado cambian el conteo.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 48 éxitos en 80 pruebas → Frecuencia 0,6; 15 éxitos en 60 pruebas → Frecuencia 0,25; 7 éxitos en 20 pruebas → Frecuencia 0,35
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Respuesta: 27 éxitos en 90 pruebas → Frecuencia 0,3; 18 éxitos en 24 pruebas → Frecuencia 0,75; 11 éxitos en 50 pruebas → Frecuencia 0,22
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Hay 8 resultados equiprobables y 3 favorables. Calcula P.
Hay 12 resultados equiprobables y 5 favorables. Calcula P.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 3/8 — Divido tres casos favorables entre ocho posibles.
Laplace divide favorables entre posibles.
Respuesta: 5/12 — Son cinco casos favorables de doce posibles.
Se usa 5 favorables de 12 posibles.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita las parejas no ordenadas de 4 elementos.
Audita elegir 2 de 5 sin orden.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se cuenta AB y BA como distintos. → Al no importar el orden, divide entre 2: hay 6 parejas.
Cada pareja fue contada en dos órdenes.
Respuesta: Se concluyen 20 parejas. → Tras dividir entre 2 hay 10 parejas.
El orden no crea una pareja nueva.
Reto integrador
Se eligen 2 de 5 elementos sin orden; 3 parejas son favorables. Calcula el espacio, P por Laplace y compara con 9 éxitos en 30 ensayos.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: Hay C(5,2)=10 parejas; P=3/10=0,3 y la frecuencia 9/30=0,3 coincide en esta muestra.
El recuento da 10; ambas razones valen 0,3, sin convertir la coincidencia experimental en identidad necesaria.
Compruébalo ahora
¿Cuántas parejas no ordenadas se forman al elegir dos elementos distintos entre cuatro?
Ver solución explicada
Respuesta: 6
Son AB, AC, AD, BC, BD y CD, las seis conexiones de la figura.
Si las seis parejas son equiprobables y dos son favorables, calcula la probabilidad.
Ver solución explicada
Respuesta: 1/3
La regla de Laplace da 2/6, que simplifica a 1/3.
En 80 repeticiones de un experimento se observan 48 éxitos. Calcula la frecuencia relativa.
Ver solución explicada
Respuesta: 0,6
48/80 = 0,6; es una estimación basada en las repeticiones observadas.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido estocástico: probabilidad como medida de incertidumbre, frecuencia relativa, regla de Laplace y técnicas de recuento en experimentos simples; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato