Classe quarta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Distinguere punto, distanza e riflessione del coniugato.
Prima di iniziare
- Piano cartesiano
- Potenze
L'idea centrale
Un numero complesso z=a+bi ha parte reale a e parte immaginaria b, con i²=−1. Nel piano di Argand-Gauss corrisponde al punto (a,b): l'asse orizzontale riporta la parte reale e quello verticale la parte immaginaria. La somma si calcola per componenti, mentre nel prodotto si distribuiscono i termini e si sostituisce i² con −1. Il coniugato è a−bi, riflessione del punto rispetto all'asse reale. Il modulo |z|=√(a²+b²) è la distanza dall'origine e non deve essere confuso con la parte reale. La figura rappresenta 3+2i, il suo coniugato 3−2i e il modulo √13; la simmetria verticale conserva la distanza. Inoltre z·coniugato(z)=a²+b²=|z|²: questa relazione aiuta a controllare calcoli e a razionalizzare un denominatore complesso non nullo. Quando b=0 il numero è reale, quando a=0 è puramente immaginario; lo zero appartiene a entrambi gli assi. Per verificare un prodotto, controlla separatamente il contributo reale e quello immaginario prima di scrivere il punto risultante. Per esempio, il coniugato non cambia il modulo perché i quadrati delle due componenti restano uguali.
- Criterio
- Separa parte reale e immaginaria; rappresenta il punto; per il prodotto raccogli i termini reali e quelli con i. Usa modulo o coniugato come controllo, non come sinonimi.
Come procedere
- Scrivi ciascun numero come a+bi e separa coefficienti reali e immaginari.
- Per somme combina componenti; per prodotti distribuisci e riduci i² a −1.
- Per modulo o coniugato usa il punto (a,b), poi verifica |z|²=a²+b².
Esempio svolto
Calcola (2+i)(1−3i) e il modulo di 2+i.
- Distribuisco: 2−6i+i−3i²; sostituisco i²=−1 e raccolgo i termini.
- Per il modulo applico Pitagora alle componenti 2 e 1.
- Controllo il modulo: |2+i|²=2²+1²=5, mentre il prodotto ottenuto ha parti reale 5 e immaginaria −5.
Prodotto 5−5i; modulo √5.
Errore da evitare
Trattare i come una variabile reale oppure dimenticare che i²=−1 nel prodotto.
Controllo e limiti
- La scala grafica non prova valori numerici non indicati.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
Calcola la somma complessa (3+2i)+(−1+4i).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2+6i.
Sommo separatamente parti reali e coefficienti di i.
Risposta: 2+6i.
Sommo separatamente parti reali e coefficienti di i.
Trova il modulo e il coniugato di −3+4i.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Modulo 5; coniugato −3−4i.
La distanza è √(9+16); la coniugazione cambia il segno immaginario.
Risposta: Modulo 5; coniugato −3−4i.
La distanza è √(9+16); la coniugazione cambia il segno immaginario.
Calcola il quadrato complesso (1+i)².
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2i.
Sviluppo il quadrato: 1+2i+i²=1+2i−1, quindi rimane 2i.
Risposta: 2i.
Sviluppo il quadrato: 1+2i+i²=1+2i−1, quindi rimane 2i.
Calcola (3−2i)(1+i) e indica il punto del risultato nel piano complesso.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 5+i, punto (5,1).
Distribuisco: 3+3i−2i−2i²=5+i; le coordinate sono le due componenti.
Risposta: 5+i, punto (5,1).
Distribuisco: 3+3i−2i−2i²=5+i; le coordinate sono le due componenti.
Per z=−5−12i trova coniugato, modulo e prodotto z·coniugato(z).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Coniugato −5+12i; modulo 13; prodotto 169.
Il coniugato cambia il segno di b; |z|=√(25+144)=13 e z·coniugato(z)=|z|²=169.
Risposta: Coniugato −5+12i; modulo 13; prodotto 169.
Il coniugato cambia il segno di b; |z|=√(25+144)=13 e z·coniugato(z)=|z|²=169.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Numeri complessi nel piano: modulo e operazioni