Classe quinta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Applicare la regola della catena a una composizione elementare.
- Motivare una conclusione con un indizio pertinente.
- Esplicitare ciò che il caso non permette di dedurre.
Prima di iniziare
- Derivata di una potenza
- Composizione di funzioni
L'idea centrale
Se f(x)=(2x+1)³, la variabile esterna è un cubo e quella interna è 2x+1. Una piccola variazione di x modifica prima l'espressione interna e poi il cubo: la derivata è 3(2x+1)²·2. Il fattore 2 registra la velocità di variazione dell'interno. Sviluppare il polinomio e derivarlo dà lo stesso risultato, ma la struttura composta rende più trasparente il procedimento.
- Relazione e condizioni
- Scrivi u(x) per la funzione interna e g(u) per l'esterna. Allora (g∘u)'(x)=g'(u(x))u'(x), nei punti in cui entrambe sono derivabili. La regola non permette di derivare solo lo strato esterno; neppure autorizza a trattare una funzione non derivabile come se lo fosse. Nel DM la derivazione di composizioni semplici è un'abilità prevista, senza richiedere addestramento tecnico eccessivo.
Come ragionare
- Traduci il testo in oggetti, variabili e condizioni matematiche.
- Scegli il teorema o la formula e verifica le sue ipotesi.
- Svolgi i passaggi algebrici mostrando i risultati intermedi.
- Controlla il risultato nel caso dato e dichiara dove il metodo non vale.
Esempio svolto
Deriva (x+4)².
- La derivata dell'interno x+4 è 1.
2(x+4).
Errore da evitare
Errore frequente: Derivare solo lo strato esterno di (u(x))ⁿ e omettere u'(x), oppure ignorare il dominio. Correzione: Applica la regola della catena moltiplicando per la derivata interna e verifica il punto richiesto.
Limiti
- Il caso e il diagramma sono costruzioni didattiche, non documenti autentici o una trattazione esaustiva.
Prova subito
Deriva (3x−2)² e controlla con lo sviluppo. Motiva la risposta con i dati del caso.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 6(3x−2), cioè 18x−12. Regola della catena: 2(3x−2)·3; sviluppando si ottiene 9x²−12x+4, derivata 18x−12.
Regola della catena: 2(3x−2)·3; sviluppando si ottiene 9x²−12x+4, derivata 18x−12.
Risposta: 6(3x−2), cioè 18x−12. Regola della catena: 2(3x−2)·3; sviluppando si ottiene 9x²−12x+4, derivata 18x−12.
Regola della catena: 2(3x−2)·3; sviluppando si ottiene 9x²−12x+4, derivata 18x−12.
Deriva (4x−3)³ separando funzione esterna e interna.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 12(4x−3)².
La derivata esterna è 3u² e quella interna, con u=4x−3, è 4.
Risposta: 12(4x−3)².
La derivata esterna è 3u² e quella interna, con u=4x−3, è 4.
Deriva (x²+1)² e verifica sviluppando il quadrato.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 4x(x²+1)=4x³+4x.
Lo sviluppo x⁴+2x²+1 dà la stessa derivata.
Risposta: 4x(x²+1)=4x³+4x.
Lo sviluppo x⁴+2x²+1 dà la stessa derivata.
Per f(x)=(5−x)², spiega perché il segno della derivata non è sempre positivo.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: f'(x)=−2(5−x)=2x−10: è negativa per x<5, nulla per x=5 e positiva per x>5.
La derivata interna è −1; il segno di 2x−10 cambia attraversando x=5.
Risposta: f'(x)=−2(5−x)=2x−10: è negativa per x<5, nulla per x=5 e positiva per x>5.
La derivata interna è −1; il segno di 2x−10 cambia attraversando x=5.
Un compagno applica la catena a √(3x+2) nel punto x=−1. Quale limite del calcolo individui?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: La funzione non è reale in x=−1: 3(−1)+2=−1, dunque lì non ha derivata reale.
Prima di applicare la catena occorre controllare che il punto appartenga al dominio reale.
Risposta: La funzione non è reale in x=−1: 3(−1)+2=−1, dunque lì non ha derivata reale.
Prima di applicare la catena occorre controllare che il punto appartenga al dominio reale.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA / relazioni e funzioni · righe 1280–1288 · Applicare la regola della catena a una composizione elementare. Riferimento ufficiale: QUINTO ANNO. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Derivare una funzione composta semplice