La aproximación que alcanza a decidir

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Qué vas a aprender

Usar cuadrados y cotas con unidades para validar una decisión sobre una raíz.
Distinguir una aproximación numérica de un dato suficiente sobre una medida.

Antes de empezar

Calcular cuadrados de enteros y decimales positivos.
Relacionar el lado y el área de un cuadrado.

Qué necesitamos entender

Para un cuadrado de área A, el lado no negativo es la raíz cuadrada de A. Si A está en metros cuadrados, el lado está en metros. No se conserva el mismo símbolo de unidad al extraer la raíz. La relación se puede comprobar elevando el lado al cuadrado y recuperando el área.

En números positivos, comparar cuadrados conserva el orden. Para decidir si un lado supera 4.2 m, puedes comparar su área con 4.2² m² sin calcular una raíz decimal completa. Esta estrategia responde directamente a la condición que importa. Si el dato de área corresponde a un rectángulo sin lados conocidos, la raíz no determina su ancho: hay muchas parejas con el mismo producto.

Una cota inferior y una superior indican dónde está una raíz. Para afirmar que un cuadrado cabe dentro de una superficie cuadrada de lado b, necesitas probar que su lado no supera b. Que un redondeo coincida con b no demuestra que quepa: valores a ambos lados pueden redondearse al mismo decimal. Calcula una cota más fina o compara las áreas.

La precisión depende de la pregunta. Un entero puede bastar para ubicar una raíz entre dos cuadrados; una décima puede bastar para una estimación, pero no para distinguir valores alrededor de un límite cercano. Conserva el valor exacto durante la comparación y redondea solo el número que la consigna solicita al final. Si falta información sobre la forma, pedir más decimales no arregla la ausencia.

Cota suficiente: Límite acreditado que permite decidir la condición pedida sin atribuir a una aproximación más exactitud de la que tiene.

Cómo elegir la representación y comprobar

Identifica la forma, la medida que se busca y las unidades.
Convierte el umbral de longitud en un cuadrado si permite una comparación directa.
Obtén cotas a ambos lados y revisa si quedan del mismo lado de la condición.
Si el umbral sigue dentro de las cotas, afina la comparación; si falta la forma, solicita ese dato.

Un caso resuelto

Una placa es un cuadrado de área exacta 19.5 m². Un hueco cuadrado tiene lado exacto 4.4 m. Se comparan lados paralelos y no se deja margen. Alguien redondea el lado de la placa a una décima y afirma que cabe. ¿Qué permite decidir?

La condición es lado de placa ≤ 4.4 m. El cuadrado del hueco es 4.4² = 19.36 m².
Como 19.5 > 19.36, el lado de la placa supera 4.4 m y no cabe con los lados paralelos.
Además, 4.41² = 19.4481 y 4.42² = 19.5364; el lado está entre 4.41 y 4.42 m.
Ese intervalo redondea a 4.4 m a una décima, pero el redondeo no acredita que el lado sea menor o igual al del hueco.

No cabe. Comparar áreas exactas decide; el redondeo a 4.4 m oculta el pequeño exceso.

Registro del ejemplo

Longitud candidata (m)	Su cuadrado (m²)	Relación con 19.5 m²
4.4	19.36	Inferior
4.41	19.4481	Inferior
4.42	19.5364	Superior

Un error que podemos explicar

Usar la raíz del área como ancho de cualquier rectángulo.

Comprobar que la figura es cuadrada antes de igualar sus dos lados.

Un producto fija el área, pero no fija por sí solo los dos lados.

Cuadrar un umbral puede decidir sin redondear la raíz.
La unidad y la forma pertenecen a la comprobación, no al aspecto del número.

Comprueba con otro caso

Una lámina cuadrada tiene lado s, en metros, y se sabe que 3.26 < s < 3.27. Se quiere colocar con lados paralelos en un espacio cuadrado de lado exacto 3.25 m. Decide si esas cotas bastan para saber si cabe sin margen. Después examina un segundo espacio de lado 3.265 m y explica qué comprobación falta para decidir ese segundo caso. Da longitudes con tres decimales cuando las expreses numéricamente.

Resultados y razonamiento del caso

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: En el espacio de 3.250 m no cabe: incluso la cota inferior 3.260 m lo supera. Para el espacio de 3.265 m, el intervalo contiene valores menores y mayores; falta comparar el lado exacto con 3.265, por ejemplo con el área exacta y 3.265² = 10.660225 m².

Modelo de respuesta: En el espacio de 3.250 m no cabe: incluso la cota inferior 3.260 m lo supera. Para el espacio de 3.265 m, el intervalo contiene valores menores y mayores; falta comparar el lado exacto con 3.265, por ejemplo con el área exacta y 3.265² = 10.660225 m².

Criterios para revisar tu respuesta:

Decidir el primer caso usando la cota inferior.
Identificar la indecisión del segundo intervalo y una comprobación discriminante.

En el espacio de 3.250 m no cabe: incluso la cota inferior 3.260 m lo supera. Para el espacio de 3.265 m, el intervalo contiene valores menores y mayores; falta comparar el lado exacto con 3.265, por ejemplo con el área exacta y 3.265² = 10.660225 m².

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones, y consulta su solución después de completar tu razonamiento.

Solución accesible sin interacción

Elevar al cuadrado los límites positivos conservando el orden y las desigualdades estrictas.
Proponer dos áreas distintas con dos decimales dentro del intervalo.
Rechazar el extremo superior por dar un lado igual al límite.

Respuesta: El intervalo es 1.96 < A < 2.25 cm². Por ejemplo A = 2.00 y A = 2.10 cm² están dentro y producen lados entre 1.4 y 1.5 cm. A = 2.25 cm² da lado 1.5 cm y viola la desigualdad estricta.

El intervalo es 1.96 < A < 2.25 cm². Por ejemplo A = 2.00 y A = 2.10 cm² están dentro y producen lados entre 1.4 y 1.5 cm. A = 2.25 cm² da lado 1.5 cm y viola la desigualdad estricta.

Compruébalo ahora

Una pieza cuadrada tiene área exacta 50 m². Debe entrar con lados paralelos en un espacio cuadrado de lado 7.2 m. Se requiere un margen de 0.05 m entre cada lado de la pieza y el borde correspondiente del espacio. Determina la longitud máxima admisible de la pieza y decide si cumple. Compara cuadrados sin redondear la raíz. Da la longitud máxima con dos decimales en metros y las áreas exactas en m².
Ver solución explicada
- Descontar los dos márgenes en una dirección.
- Comparar el área 50 con 7.10² y concluir que cumple.
Respuesta: El margen se descuenta en los dos extremos: 7.2 − 2 × 0.05 = 7.10 m. Su cuadrado es 50.41 m²; como 50 ≤ 50.41, el lado de la pieza no supera 7.10 m y el margen pedido se puede dejar.
El margen se descuenta en los dos extremos: 7.2 − 2 × 0.05 = 7.10 m. Su cuadrado es 50.41 m²; como 50 ≤ 50.41, el lado de la pieza no supera 7.10 m y el margen pedido se puede dejar.
Un terreno rectangular ocupa exactamente 36 m². Se quiere saber si su ancho permite una entrada de al menos 5 m. No se indica que sea cuadrado ni se conoce el largo. Construye dos rectángulos con esa área, uno que cumpla la condición y otro que no, fijando el ancho como el lado menor o igual al largo. Decide si calcular la raíz de 36 basta y di qué dato adicional pedirías. Da lados enteros en metros.
Ver solución explicada
- Producir dos parejas con producto 36 y ancho ≤ largo.
- Hacer que solo una tenga ancho ≥ 5.
- Distinguir dato de área y dato de forma, y solicitar información suficiente.
Respuesta: Un rectángulo de ancho 6 y largo 6 m cumple; uno de ancho 4 y largo 9 m no cumple. Ambos tienen área 36 m² y ancho no mayor que largo. La raíz de 36 daría el lado solo con condición de cuadrado; se puede pedir el largo para obtener el ancho como 36/largo.
Un rectángulo de ancho 6 y largo 6 m cumple; uno de ancho 4 y largo 9 m no cumple. Ambos tienen área 36 m² y ancho no mayor que largo. La raíz de 36 daría el lado solo con condición de cuadrado; se puede pedir el largo para obtener el ancho como 36/largo.
Una ficha registra 10.2 m² como área de una placa cuadrada, pero aclara que esa área se redondeó a una décima: desde cinco centésimas se redondea hacia la décima superior. El hueco cuadrado donde se quiere colocar tiene lado exacto 3.19 m. Los lados estarán paralelos y no se requiere margen. ¿El área registrada basta para certificar que la placa cabe? Determina el intervalo de áreas que podrían haber producido ese registro y construye dos áreas exactas con dos decimales dentro de él: una cuya placa quepa y otra cuya placa no quepa. Comprueba ambos casos comparando áreas, sin aproximar las raíces, y di qué información pedirías para decidir sobre la placa real. Da el cuadrado de 3.19 con cuatro decimales en m².
Ver solución explicada
- Obtener el intervalo correspondiente a la regla de redondeo indicada, con sus extremos incluidos o excluidos.
- Proponer dos áreas dentro del intervalo y justificar que sus placas quedan en lados distintos del umbral de colocación.
- Concluir sobre la suficiencia del registro y solicitar información que realmente permita decidir.
Respuesta: Las áreas que redondean a 10.2 m² cumplen 10.15 ≤ A < 10.25 m². El hueco tiene área 3.19² = 10.1761 m². Una placa de área exacta 10.16 m² cabe, pues 10.16 ≤ 10.1761; otra de área 10.20 m² no cabe, pues 10.20 > 10.1761. Las dos áreas redondean a 10.2. Por tanto, el registro redondeado no permite certificar la colocación: hace falta el área exacta, el lado exacto o cotas más finas que permitan compararlos con el hueco. Se aceptan otros pares que cumplan ambas condiciones.
Las áreas que redondean a 10.2 m² cumplen 10.15 ≤ A < 10.25 m². El hueco tiene área 3.19² = 10.1761 m². Una placa de área exacta 10.16 m² cabe, pues 10.16 ≤ 10.1761; otra de área 10.20 m² no cabe, pues 10.20 > 10.1761. Las dos áreas redondean a 10.2. Por tanto, el registro redondeado no permite certificar la colocación: hace falta el área exacta, el lado exacto o cotas más finas que permitan compararlos con el hueco. Se aceptan otros pares que cumplan ambas condiciones.
Se diseñan etiquetas cuadradas cuyo lado debe ser mayor que 1.4 cm y menor que 1.5 cm. El área se puede especificar con exactamente dos decimales en cm². Deriva el intervalo de áreas permitido, elige dos valores distintos con dos decimales que lo cumplan y comprueba por qué un área igual al extremo superior no sirve. Mantén estrictas las dos condiciones; no aproximes las raíces para comprobar.
Ver solución explicada
- Elevar al cuadrado los límites positivos conservando el orden y las desigualdades estrictas.
- Proponer dos áreas distintas con dos decimales dentro del intervalo.
- Rechazar el extremo superior por dar un lado igual al límite.
Respuesta: El intervalo es 1.96 < A < 2.25 cm². Por ejemplo A = 2.00 y A = 2.10 cm² están dentro y producen lados entre 1.4 y 1.5 cm. A = 2.25 cm² da lado 1.5 cm y viola la desigualdad estricta.
El intervalo es 1.96 < A < 2.25 cm². Por ejemplo A = 2.00 y A = 2.10 cm² están dentro y producen lados entre 1.4 y 1.5 cm. A = 2.25 cm² da lado 1.5 cm y viola la desigualdad estricta.

Alineación curricular y fuentes

Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6, versión alojada por SEP en 2025. Extensión del significado de las operaciones y sus relaciones inversas, segundo grado, p. 58 impresa (PDF 60): potencias con exponente entero y raíz cuadrada. Selección y desarrollo editorial parcial; no programación anual ni cobertura completa. · Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6

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