La dispersión depende del registro completo

3.º de secundariaRuta de edumaterial

Qué vas a aprender

Seleccionar una representación que conserve frecuencias y el centro usado para medir dispersión.
Validar conclusiones sobre grupos distinguiendo promedio, extremos y límites de la evidencia.

Antes de empezar

Calcular media aritmética, rango y distancia absoluta.
Operar con fracciones y tablas de frecuencia.

Qué necesitamos entender

Una tabla de frecuencias representa todas las observaciones, también las repetidas. La media se obtiene sumando cada valor tantas veces como su frecuencia indica y dividiendo entre el número total de observaciones. Tratar cada fila como un dato cambia el conjunto. El rango usa máximo y mínimo, pero no informa cuántas veces aparece cada extremo.

La desviación media mide el promedio de las distancias absolutas al centro del conjunto que se estudia. Calcula ese centro antes de las distancias y conserva la unidad original. Una distancia nula cuenta como observación. Cuando se corrige un dato o se combinan grupos, vuelve a calcular la media; no reutilices el centro anterior.

Para combinar grupos de distinto tamaño, sus medias pesan según cuántos datos resumen. Multiplica la media de cada grupo por su número de observaciones, suma los totales y divide entre todas las observaciones. La desviación media de la unión necesita distancias al nuevo centro. Promediar desviaciones calculadas alrededor de centros diferentes no realiza esa operación.

La conclusión depende de la pregunta y del registro. Menor desviación media significa menor distancia promedio al centro, no que cada dato esté más cerca ni que el máximo sea menor. Media y rango juntos tampoco reconstruyen todo el conjunto. Si se pide un indicador que no quedó conservado, prueba dos registros compatibles antes de afirmar que se puede recuperarlo. Los indicadores de observaciones pasadas no garantizan un valor en una observación futura.

Centro de comparación: Media del conjunto al que se refieren las distancias; al cambiar ese conjunto puede cambiar el centro aunque cada grupo tenga el mismo indicador.

Cómo elegir la representación y comprobar

Identifica observaciones, frecuencias, unidades y conjunto que se compara.
Calcula el centro conservando todas las repeticiones; si combinas grupos, conserva sus tamaños.
Obtén las distancias absolutas al mismo centro y divídelas entre el total de observaciones.
Contrasta la conclusión con extremos, frecuencias y alternativas compatibles; distingue el registro de un pronóstico.

Un caso resuelto

Dos equipos registran tiempos, en minutos: A = [4; 6] y B = [8; 8; 10; 10]. Cada equipo tiene desviación media 1 minuto. Una nota anuncia que al unir los registros la desviación media seguirá siendo 1. Comprueba la media de la unión y el indicador, sin redondear.

A tiene media 5 y B media 9. Sus desviaciones medias son 1, pero corresponden a centros diferentes.
La suma de la unión es 46 minutos en seis observaciones: media 46/6 = 23/3 minutos. Promediar 5 y 9 daría 7 e ignoraría que B aporta más observaciones.
Respecto a 23/3, las distancias son 11/3, 5/3, 1/3, 1/3, 7/3 y 7/3 minutos. Su suma es 32/3 minutos.
La desviación media de la unión es (32/3)/6 = 16/9 minutos. El rango es 10 − 4 = 6 minutos.

La media de la unión es 23/3 minutos y su desviación media 16/9 minutos; el promedio de los indicadores de grupos no conserva el centro.

Registro del ejemplo

Valor (min)	Frecuencia	Distancia a 23/3 (min)
4	1	11/3
6	1	5/3
8	2	1/3
10	2	7/3

Un error que podemos explicar

Promediar las desviaciones de grupos para obtener la de su unión.

Reconstruir las distancias al centro de la unión.

Los indicadores separados usan centros distintos; conservar el peso no corrige por sí solo ese cambio de centro.

La frecuencia y el centro son datos funcionales de la representación.
Una distancia promedio no limita por sí sola cada observación ni un registro futuro.

Comprueba con otro caso

Los registros de dos sesiones, en minutos, son A = [1; 3] y B = [7; 9]. Una nota afirma que la media de las desviaciones medias de cada sesión representa la desviación de los cuatro registros juntos. Obtén la media y la desviación media de cada sesión y de la unión. Decide si la nota se sostiene y explica qué centro cambia. Usa resultados exactos en minutos, sin redondear.

Resultados y razonamiento del caso

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Resultados y razonamiento del caso: A tiene media 2 y B media 8; ambas desviaciones medias son 1. La unión tiene media 5 y distancias 4,2,2,4: desviación media 3. Promediar 1 y 1 conserva indicadores relativos a 2 y 8, no distancias al centro común 5.

Modelo de respuesta: A tiene media 2 y B media 8; ambas desviaciones medias son 1. La unión tiene media 5 y distancias 4,2,2,4: desviación media 3. Promediar 1 y 1 conserva indicadores relativos a 2 y 8, no distancias al centro común 5.

Criterios para revisar tu respuesta:

Calcular centros e indicadores separados y de la unión.
Relacionar el fallo con el cambio de centro y no con una cuenta mal sumada.

A tiene media 2 y B media 8; ambas desviaciones medias son 1. La unión tiene media 5 y distancias 4,2,2,4: desviación media 3. Promediar 1 y 1 conserva indicadores relativos a 2 y 8, no distancias al centro común 5.

El reto final es la práctica 4 de «Compruébalo ahora». Resuélvela con sus datos y condiciones, y consulta su solución después de completar tu razonamiento.

Solución accesible sin interacción

Calcular los dos centros y comparar 5/3 con 3.
Elegir A por el criterio explícito, sin cambiarlo por el máximo.
Refutar el límite pasado con un dato y separar la falta de garantía futura.

Respuesta: Ambas medias son 6. A tiene distancias 1,1,1,1,1,5 y desviación 10/6 = 5/3 minutos; B tiene cuatro distancias de 3 y desviación media 3. Según el criterio se elige A. La afirmación sobre el pasado es falsa por su espera de 11 minutos; la afirmación futura no se puede garantizar con estos registros.

Ambas medias son 6. A tiene distancias 1,1,1,1,1,5 y desviación 10/6 = 5/3 minutos; B tiene cuatro distancias de 3 y desviación media 3. Según el criterio se elige A. La afirmación sobre el pasado es falsa por su espera de 11 minutos; la afirmación futura no se puede garantizar con estos registros.

Compruébalo ahora

El registro A contiene un tiempo de 2 minutos y tres tiempos de 6 minutos. Un registro B contiene solo dos tiempos: [2; 6] minutos. Un alumno convierte A en la lista [2; 6] y afirma que puede usarla para comparar media, rango y desviación media de A y B. Construye una tabla fiel a A con valor y frecuencia, calcula los tres indicadores de cada registro y señala cuál quedó conservado al quitar repeticiones y cuáles cambiaron. Usa valores exactos en minutos.
Ver solución explicada
- Conservar las cuatro observaciones de A en la tabla.
- Calcular los tres indicadores de A y B.
- Explicar por qué los extremos permanecen mientras cambian los promedios.
Respuesta: A se representa con (2; frecuencia 1) y (6; frecuencia 3). Tiene media 5, rango 4 y desviación media (3 + 1 + 1 + 1)/4 = 1.5 minutos. B tiene media 4, rango 4 y desviación media 2. Solo el rango se conserva en esta reducción; las frecuencias afectan al centro y a las distancias promedio.
A se representa con (2; frecuencia 1) y (6; frecuencia 3). Tiene media 5, rango 4 y desviación media (3 + 1 + 1 + 1)/4 = 1.5 minutos. B tiene media 4, rango 4 y desviación media 2. Solo el rango se conserva en esta reducción; las frecuencias afectan al centro y a las distancias promedio.
Un registro de tiempos era [6; 8; 8; 10] minutos. Se descubre que el último tiempo fue 14, no 10. Un alumno cambia ese dato, conserva la media anterior de 8 y registra como nueva desviación media 2 minutos. Obtén media, rango y desviación media del registro corregido. Explica qué calcula realmente el valor 2 que anotó y cuál paso debe rehacer. Da resultados exactos en minutos.
Ver solución explicada
- Recalcular el centro tras corregir el dato.
- Obtener rango y distancias respecto a 9.
- Identificar la operación del alumno sin atribuirle una suma aritmética falsa.
Respuesta: La lista corregida suma 36: media 9 minutos. El rango es 14 − 6 = 8. Las distancias al nuevo centro son 3,1,1,5, con promedio 10/4 = 2.5 minutos. El valor 2 promedia las distancias 2,0,0,6 al antiguo centro 8; no es la desviación respecto a la media del conjunto corregido.
La lista corregida suma 36: media 9 minutos. El rango es 14 − 6 = 8. Las distancias al nuevo centro son 3,1,1,5, con promedio 10/4 = 2.5 minutos. El valor 2 promedia las distancias 2,0,0,6 al antiguo centro 8; no es la desviación respecto a la media del conjunto corregido.
Una ficha conserva solo esto: tres tiempos no negativos, media 10 minutos y rango 6 minutos. Los tiempos pueden ser números enteros. Se perdió la lista completa. Construye dos listas de tres tiempos enteros que cumplan la ficha y tengan distinta desviación media. Calcula los tres indicadores para comprobarlas y decide si se puede reconstruir una desviación media única con la información conservada. Usa fracciones irreducibles si hacen falta.
Ver solución explicada
- Producir dos listas con tres tiempos enteros no negativos, suma 30 y rango 6.
- Calcular dos desviaciones medias diferentes.
- Usar ambas listas como contraejemplo a la recuperación única.
Respuesta: A = [7; 10; 13] tiene media 10, rango 6 y desviación media 6/3 = 2 minutos. B = [6; 12; 12] tiene media 10, rango 6 y desviación media (4 + 2 + 2)/3 = 8/3 minutos. Las dos listas cumplen la ficha y dan indicadores distintos; falta información para fijar una desviación única.
A = [7; 10; 13] tiene media 10, rango 6 y desviación media 6/3 = 2 minutos. B = [6; 12; 12] tiene media 10, rango 6 y desviación media (4 + 2 + 2)/3 = 8/3 minutos. Las dos listas cumplen la ficha y dan indicadores distintos; falta información para fijar una desviación única.
En un registro de esperas A = [5; 5; 5; 5; 5; 11] minutos y B = [3; 3; 9; 9] minutos. Se elegirá el registro con menor distancia promedio a su media, para describir esas observaciones. Una nota afirma además que el elegido no tuvo esperas de más de 9 minutos y no las tendrá en la siguiente observación. Compara las medias y las desviaciones medias, elige según el criterio indicado y audita por separado las dos afirmaciones añadidas. Usa fracciones irreducibles en minutos; no redondees para comparar.
Ver solución explicada
- Calcular los dos centros y comparar 5/3 con 3.
- Elegir A por el criterio explícito, sin cambiarlo por el máximo.
- Refutar el límite pasado con un dato y separar la falta de garantía futura.
Respuesta: Ambas medias son 6. A tiene distancias 1,1,1,1,1,5 y desviación 10/6 = 5/3 minutos; B tiene cuatro distancias de 3 y desviación media 3. Según el criterio se elige A. La afirmación sobre el pasado es falsa por su espera de 11 minutos; la afirmación futura no se puede garantizar con estos registros.
Ambas medias son 6. A tiene distancias 1,1,1,1,1,5 y desviación 10/6 = 5/3 minutos; B tiene cuatro distancias de 3 y desviación media 3. Según el criterio se elige A. La afirmación sobre el pasado es falsa por su espera de 11 minutos; la afirmación futura no se puede garantizar con estos registros.

Alineación curricular y fuentes

Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6, versión alojada por SEP en 2025. Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión, tercer grado, p. 61 impresa (PDF 63): comparar dos conjuntos de datos para tomar decisiones. Selección y desarrollo editorial parcial; no programación anual ni cobertura completa. · Programa de Estudio para la Educación Secundaria: Programa Sintético de la Fase 6

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Practicar esto: Comparar grupos con rango y desviación media