10.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Modelar juros compostos e comparar com juros simples.
Compreender
No primeiro ano o capital passa a 1000×1,02=1020 €. No segundo, a taxa incide sobre 1020 €, produzindo 1040,40 €. Para n anos inteiros, C(n)=1000(1,02)^n. O expoente conta capitalizações, não meses. Uma capitalização mensal exigiria taxa por mês ou convenção equivalente explícita. Não basta trocar n por 12n mantendo 2% como taxa mensal.
Com juro simples a 2% sobre o capital inicial, o acréscimo anual é sempre 20 € e o montante após dois anos seria 1040 €. A diferença de 0,40 € corresponde a juro sobre juro. Comparar depósitos reais requer taxas efetivas, impostos e comissões. Este caso é um modelo matemático, não uma recomendação financeira nem garantia de rendimento futuro.
Exemplo resolvido
Num modelo sem taxas nem impostos, 500 € são capitalizados a 4% ao ano. Quanto há após dois anos e quanto seria com juro simples?
- Ao fim do primeiro ano, 500×1,04=520 €.
- No segundo ano, a taxa incide sobre 520 €: 520×1,04=540,80 €.
- Com juro simples, o acréscimo anual seria sempre 500×0,04=20 €, num total de 540 € após dois anos.
O montante composto é 540,80 €, mais 0,80 € do que no modelo simples.
Atenção ao erro
Juros compostos somam sempre os mesmos 20 € por ano.
Verifica agora
No capital de 1000 € a 2% da explicação, qual é o montante após dois anos?
Ver solução explicada
Resposta: 1000×1,02²=1040,40 €.
Capitaliza duas vezes.
Retoma o caso da explicação: Que parte do segundo ganho é juro sobre juro?
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Resposta: 0,02×20 €=0,40 €.
Isola o efeito do primeiro juro.
Retoma o caso da explicação: Escreve C(n).
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Resposta: C(n)=1000(1,02)^n, para n inteiro não negativo.
Define base e expoente.
Retoma o caso da explicação: Diferença face a juro simples após dois anos?
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Resposta: 1040,40−1040=0,40 €.
Compara mesmo horizonte e taxa.
Alinhamento curricular e fontes
- Modelos matemáticos para a cidadania — 10.º ano, página 15. Objetivo oficial parafraseado: Modelar juros compostos e comparar com juros simples.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 10-ano