10.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Estudar a parábola e usar o vértice em otimização.
Compreender
Como o coeficiente quadrático é negativo, a parábola abre para baixo e o vértice é máximo. A sua abcissa é −b/(2a)=−20/(−10)=2. A altura h(2)=−20+40+1=21 m. A forma canónica h(t)=−5(t−2)²+21 mostra que qualquer afastamento de t=2 reduz a altura calculada. O domínio físico importa: t negativo tem valor algébrico, mas não pertence ao caso.
O valor inicial h(0)=1 m é a altura de lançamento. A simetria dá h(1)=h(3)=16 m. A resistência do ar pode afastar a trajetória real deste modelo; o gráfico altura-tempo não é um desenho completo da trajetória no espaço. Para saber quando chega ao solo, resolve-se h(t)=0 e verifica-se a raiz num domínio temporal apropriado.
Exemplo resolvido
A altura modelada é g(t)=−2t²+12t+1, para 0≤t≤5 segundos. Quando atinge o máximo e qual é a altura?
- O coeficiente de t² é negativo, por isso o vértice é um máximo da parábola.
- A abcissa do vértice é t=−12/(2×−2)=3 s, valor que pertence ao domínio [0,5].
- Substituímos: g(3)=−2×9+12×3+1=19 m.
O máximo do modelo é 19 m aos 3 s.
Atenção ao erro
O vértice é mínimo porque o tempo aumenta.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Quando ocorre a altura máxima?
Ver solução explicada
Resposta: t=−20/(2×−5)=2 s.
Calcula a abcissa do vértice.
Retoma o caso da explicação: Qual é a altura máxima?
Ver solução explicada
Resposta: h(2)=21 m.
Substitui o tempo encontrado.
Retoma o caso da explicação: Escreve a forma canónica.
Ver solução explicada
Resposta: −5(t−2)²+21=−5t²+20t+1.
Expande para verificar.
Retoma o caso da explicação: Qual é a altura inicial?
Ver solução explicada
Resposta: h(0)=1 m, altura no lançamento.
Interpreta a ordenada na origem.
Alinhamento curricular e fontes
- Funções quadráticas — 10.º ano, página 36. Objetivo oficial parafraseado: Estudar a parábola e usar o vértice em otimização.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 10-ano