10.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Operar com vetores no plano e interpretar a norma.
Compreender
AB=B−A=(3,4) e BC=C−B=(2,−3). A soma (5,1) coincide com AC=C−A: a deslocação resultante depende apenas dos extremos, não do trajeto. A norma de AB é √(3²+4²)=5. Já o percurso A→B→C mede 5+√13, enquanto a distância direta A→C é √26. Somar comprimentos dos trechos responde a pergunta diferente de somar vetores.
Multiplicar AB por 2 dá (6,8), conservando direção e duplicando norma; multiplicar por −1 inverte o sentido. Coordenadas pressupõem eixos e unidade definidos. Um desenho fora de escala não substitui o cálculo e a conversão em metros só é legítima se as unidades do mapa forem conhecidas.
Exemplo resolvido
Um percurso vai de A=(2,0) a B=(5,4) e termina em C=(8,4). Compara o comprimento percorrido com a deslocação direta.
- AB=B−A=(3,4) e BC=C−B=(3,0); a soma dos vetores é AC=(6,4).
- Os dois troços medem |AB|=√(3²+4²)=5 e |BC|=3; o percurso mede 8 unidades.
- A deslocação direta mede |AC|=√(6²+4²)=√52≈7,21 unidades.
O percurso de 8 unidades é maior do que a distância direta de √52 unidades.
Atenção ao erro
Somar comprimentos dos trechos dá sempre a norma do vetor resultante.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Calcula AB e BC.
Ver solução explicada
Resposta: AB=(3,4); BC=(2,−3).
Subtrai final menos inicial.
Retoma o caso da explicação: Verifica AB+BC=AC.
Ver solução explicada
Resposta: (3,4)+(2,−3)=(5,1)=C−A.
Soma componentes.
Retoma o caso da explicação: Norma de AB?
Ver solução explicada
Resposta: √(9+16)=5 unidades.
Aplica Pitágoras.
Retoma o caso da explicação: O percurso mede √26?
Ver solução explicada
Resposta: Não: 5+√13; √26 mede a deslocação direta.
Distingue percurso e deslocação.
Alinhamento curricular e fontes
- Geometria analítica — 10.º ano, página 41. Objetivo oficial parafraseado: Operar com vetores no plano e interpretar a norma.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 10-ano