11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Resolver contagens com combinações e arranjos.
Compreender
Se a ordem importasse, haveria 8×7×6=336 sequências de três propostas distintas. Cada conjunto de três surge em 3!=6 ordens. Como interessa o conjunto, há 336/6=56 escolhas, isto é, C(8,3). A divisão por seis remove repetições do mesmo grupo. Se os três tivessem cargos distintos, as 336 atribuições seriam pertinentes.
A identidade C(8,3)=C(8,5) exprime complementaridade: escolher três a incluir equivale a indicar cinco excluídas. Se uma proposta for obrigatória, restam escolher duas entre sete, dando C(7,2)=21. O contexto determina se posição, repetição e restrições importam; aplicar a fórmula antes de ler o enunciado é fonte de erro.
Exemplo resolvido
De cinco cartazes diferentes escolhem-se três para uma exposição, sem ordem. Quantos grupos existem?
- Se primeiro, segundo e terceiro lugar fossem diferentes, haveria 5×4×3=60 escolhas ordenadas.
- Cada grupo de três cartazes surge 3!=6 vezes nessa lista, uma por cada ordem interna.
- Dividimos por seis: C(5,3)=60/6=10.
Existem 10 grupos diferentes de três cartazes.
Atenção ao erro
Selecionar A,B,C e C,B,A produz grupos diferentes.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Quantos trios?
Ver solução explicada
Resposta: C(8,3)=8×7×6/6=56.
Elimina a ordem.
Retoma o caso da explicação: E com três cargos diferentes?
Ver solução explicada
Resposta: 8×7×6=336.
Reconhece papéis distintos.
Retoma o caso da explicação: Uma proposta obrigatória: quantos trios?
Ver solução explicada
Resposta: C(7,2)=21.
Fixa a proposta e escolhe duas.
Retoma o caso da explicação: Por que C(8,3)=C(8,5)?
Ver solução explicada
Resposta: Cada trio selecionado determina cinco propostas excluídas.
Explica a correspondência complementar.
Alinhamento curricular e fontes
- Contagem e probabilidade — 11.º ano, página 20. Objetivo oficial parafraseado: Resolver contagens com combinações e arranjos.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano