11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Usar derivadas para estudar monotonia e extremos.
Compreender
A derivada é L′(x)=−2x+12. Anula-se em x=6; é positiva antes e negativa depois. Logo, o lucro cresce até 6 e decresce a seguir. L(6)=16 é o candidato a máximo; os extremos do domínio dão L(0)=−20 e L(10)=0. Comparando os três valores, 16 é o máximo global no intervalo. Um ponto estacionário fora do intervalo não resolveria o problema.
Se x indica número inteiro de peças, seis é admissível. Se o ótimo contínuo ficasse entre inteiros, seria preciso avaliar inteiros próximos. A expressão quadrática simplifica custos e receitas; valores para produção acima de dez não estão cobertos pelo caso. A derivada informa a variação local do modelo, sem garantir lucro real futuro.
Exemplo resolvido
Num modelo L(x)=−2x²+16x−5, com 0≤x≤6, determina o máximo global no intervalo.
- Derivamos: L′(x)=−4x+16; a condição L′(x)=0 dá x=4, dentro de [0,6].
- A derivada muda de positiva para negativa em x=4, por isso há um candidato a máximo nesse ponto.
- Comparamos com as fronteiras: L(0)=−5, L(4)=27 e L(6)=19.
O máximo global do modelo no intervalo é 27, atingido em x=4.
Atenção ao erro
L′(x)=0 dispensa verificar as extremidades do intervalo.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Calcula L′.
Ver solução explicada
Resposta: L′(x)=−2x+12.
Deriva termo a termo.
Retoma o caso da explicação: Encontra o ponto estacionário.
Ver solução explicada
Resposta: −2x+12=0 dá x=6.
Resolve a equação.
Retoma o caso da explicação: Qual o máximo no domínio?
Ver solução explicada
Resposta: L(6)=16, maior que L(0)=−20 e L(10)=0.
Compara interior e extremos.
Retoma o caso da explicação: Onde L cresce?
Ver solução explicada
Resposta: De x=0 a x=6, com derivada positiva antes de 6.
Interpreta o sinal da derivada.
Alinhamento curricular e fontes
- Cálculo diferencial — 11.º ano, página 30. Objetivo oficial parafraseado: Usar derivadas para estudar monotonia e extremos.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano