11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Escrever equações de planos usando vetores normais.
Compreender
Um ponto X=(x,y,z) pertence ao plano quando PX=(x−1,y−2,z+1) é perpendicular a n. Assim, 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0, ou 2x−y+3z+3=0. Substituir P dá zero, controlo importante de sinais. A equação descreve infinitos pontos e não apenas o ponto fornecido.
Qualquer múltiplo não nulo de n continua normal ao mesmo plano; multiplicar todos os coeficientes da equação pelo mesmo fator conserva o plano. Já mudar apenas a constante produz, em geral, plano paralelo diferente. Uma parede física tem extensão finita; o plano matemático idealizado é infinito. Para calcular distâncias em metros seriam necessárias unidades de coordenadas.
Exemplo resolvido
Um plano passa por P=(2,−1,0) e tem normal n=(1,2,−2). Escreve uma equação e verifica P.
- Para X=(x,y,z), o vetor PX=(x−2,y+1,z) deve ser perpendicular a n.
- O produto escalar n·PX=(x−2)+2(y+1)−2z=0 simplifica-se para x+2y−2z=0.
- Substituímos P: 2+2(−1)−2×0=0, logo o ponto dado pertence ao plano obtido.
Uma equação do plano é x+2y−2z=0.
Atenção ao erro
Trocar só a constante mantém exatamente o mesmo plano.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Obtém a equação.
Ver solução explicada
Resposta: 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0, logo 2x−y+3z+3=0.
Usa produto escalar normal–deslocação.
Retoma o caso da explicação: P pertence ao plano?
Ver solução explicada
Resposta: Sim: 2−2−3+3=0.
Verifica por substituição.
Retoma o caso da explicação: Q=(0,0,−1) pertence?
Ver solução explicada
Resposta: Sim: 0−0−3+3=0.
Testa o ponto na equação.
Retoma o caso da explicação: 4x−2y+6z+6=0 é outro plano?
Ver solução explicada
Resposta: Não; é o dobro da equação, com os mesmos pontos.
Reconhece fator comum não nulo.
Alinhamento curricular e fontes
- Geometria no espaço — 11.º ano, página 15. Objetivo oficial parafraseado: Escrever equações de planos usando vetores normais.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano