11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Usar produto escalar para estudar ângulos e perpendicularidade.
Compreender
O produto escalar u·v=3×1+1×(−3)=0. Como os vetores são não nulos, u·v=|u||v|cos θ implica cos θ=0 e o ângulo menor é 90°. As normas são √10. Se um dos vetores fosse nulo, o produto continuaria zero mas não haveria ângulo definido. Uma figura pode parecer perpendicular e, mesmo assim, estar desenhada fora de escala; o cálculo fornece verificação.
Produto positivo corresponde a ângulo agudo, negativo a obtuso e zero a reto para vetores não nulos. Escalar uma direção por fator positivo preserva o ângulo. Interpretar como ruas reais exige mapa com eixos ortogonais e igual escala nos dois eixos. Sem essa condição, as coordenadas visuais não descrevem diretamente ângulos físicos.
Exemplo resolvido
No mesmo referencial ortogonal, u=(2,1) e v=(−1,2). Que ângulo menor formam?
- Calculamos o produto escalar: u·v=2×(−1)+1×2=0.
- Verificamos que nenhum vetor é nulo: |u|=√5 e |v|=√5.
- Pela relação u·v=|u||v|cos θ, temos cos θ=0; para o ângulo menor, θ=90°.
Os vetores não nulos são perpendiculares e formam 90°.
Atenção ao erro
Produto escalar zero prova um ângulo reto mesmo com vetor nulo.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Calcula u·v.
Ver solução explicada
Resposta: 3×1+1×(−3)=0.
Multiplica e soma componentes.
Retoma o caso da explicação: Ângulo entre u e v?
Ver solução explicada
Resposta: 90°, porque ambos são não nulos e o produto é zero.
Usa a condição completa.
Retoma o caso da explicação: Norma de u?
Ver solução explicada
Resposta: √(3²+1²)=√10.
Calcula a norma.
Retoma o caso da explicação: Se w=−v, qual é u·w?
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Resposta: −u·v=0; mantém perpendicularidade.
Aplica linearidade.
Alinhamento curricular e fontes
- Geometria — 11.º ano, página 15. Objetivo oficial parafraseado: Usar produto escalar para estudar ângulos e perpendicularidade.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano