11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Passar da descrição de acréscimo constante aos primeiros termos e ao termo geral.
Compreender
Uma sucessão associa a cada posição natural um termo. A regra u₁=5 e uₙ₊₁=uₙ+3 define os termos por recorrência: começamos em cinco e somamos três para obter o seguinte. Assim, os primeiros termos são 5, 8, 11 e 14. Como a diferença entre termos consecutivos é sempre três, trata-se de uma progressão aritmética de razão três.
Para calcular diretamente a semana n, contamos quantos acréscimos de três se fizeram após a primeira: são n−1. Logo, uₙ=5+3(n−1)=3n+2, para n natural começado em um. Na quarta semana, u₄=14. Esta expressão indica livros recolhidos nessa semana, não a soma das quatro semanas; o total acumulado exigiria somar 5+8+11+14=38.
O modelo supõe um aumento fixo sem interrupções. Uma campanha real pode oscilar, pelo que não se deve usar a fórmula indefinidamente como previsão sem dados. Um erro frequente é escrever uₙ=5+3n e obter oito na primeira semana, contrariando a condição inicial. Verificar n=1 e os primeiros termos é uma forma rápida de detetar o desfasamento entre índice e número de acréscimos.
Exemplo resolvido
Uma campanha fictícia recolhe 7 livros na primeira semana e mais 4 em cada semana seguinte do que na anterior. Calcula a quarta semana e o total das quatro primeiras.
- A sucessão começa por 7, 11, 15 e 19, porque a diferença constante é 4.
- A expressão direta é uₙ=7+4(n−1), que dá u₄=7+4×3=19.
- O total acumulado é outra pergunta: 7+11+15+19=52 livros.
Na quarta semana são 19 livros; nas quatro semanas, 52 ao todo.
Atenção ao erro
Não verificar as condições do caso.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Qual é o segundo termo?
Ver solução explicada
Resposta: 8.
Soma 3 a 5.
Retoma o caso da explicação: Qual é a razão da progressão?
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Resposta: 3.
Calcula diferença constante.
Retoma o caso da explicação: Escreve o termo geral.
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Resposta: uₙ=5+3(n−1)=3n+2.
Conta n−1 acréscimos.
Retoma o caso da explicação: Quanto se recolheu ao todo nas primeiras quatro semanas?
Ver solução explicada
Resposta: 38 livros.
Soma 5+8+11+14 sem confundir termo e total.
Alinhamento curricular e fontes
- Gerar sucessões por termo geral e recorrência e reconhecer progressões aritméticas., página 20. Objetivo oficial parafraseado: Gerar sucessões por termo geral e recorrência e reconhecer progressões aritméticas.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-a · 11-ano